Exercitation de modélisation mathématique 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercitation de modélisation mathématique 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les probabilités des événements, Calculer les affixes des points, Déterminer l’angle.
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[ Baccalauréat C Polynésie juin 1998 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules

rouges et deux boules noires.

On tire au hasard une boule de l’urne A :

• si elle est noire, on la place dans l’urne B,

• sinon, on l’écarte du jeu.

On tire au hasard ensuite une boule de l’urne B.

On considère les événéments suivants : R1 : « La boule tirée de A est rouge » ;

N1 : « La boule tirée de A est noire » ;

R2 : « La boule tirée de B est rouge » ;

N1 : « La boule tirée de B est noire ».

1. a. Calculer les probabilités des événements R1 et N1.

b. Calculer les probabilités des événements «R2 sachant R1 » et «R2 sachant

N1 ». En déduire que la probabilité de R2 est de 27

50 .

c. Calculer la probabilité de N2.

2. On répète n fois l’épreuve précédente (tirage d’une boule de A, suivie du tirage

d’une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en

supposant les différentes épreuves indépendantes.

Quel nombreminimumd’essais doit-on effectuer pour que la probabilité d’ob-

tenir au moins une fois une boule rouge de l’urne B soit supérieure à 0,99 ?

EXERCICE 2 5 POINTS

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique

2 cm). On note A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 3+2i.

On appelle f l’application qui, à tout point M distinct de A et d’affixe z, associe le

point M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = z−1+2i

z−1

1. Calculer les affixes des points O′ et B′, images respectives des points O et B par

f . Placer les points A, O′, B et B′ dans le plan.

2. a. Calculer, pour tout complexe z différent de 1, le produit

(

z ′−1 )

(z−1)

b. En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a :

AM ×AM ′ = 2 et (

−→ u ,

−−→ AM

)

+

(

−→ u ,

−−−→ AM

)

= π

2 +2, k ∈Z

3. Démontrer que, si M appartient au cercle (C ) de centre A passant par O, alors

M ′ appartient à un cercle (C ′). En préciser le centre et le rayon.

Construire (C ) et (C ′).

4. a. Déterminer l’angle ( −→ u ,

−→ AB).

b. Démontrer que, siM est un point autre que A de la demi-droite (d) d’ori-

gine A, passant par B, alors M ′ appartient à une demi-droite que l’on

précisera.

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

5. On appelle P le point d’intersection du cercle (C ) et de la demi-droite (d).

Placer son image P’ sur la figure.

EXERCICE 2 10 POINTS

Partie A : Résolution d’une équation différentielle

1. Déterminer les fonctions définies sur R solutions de l’équation différentielle

(E1) :

y ′′+2y ′+ y = 0.

2. On considère l’équation différentielle (E2) :

y ′′+2y ′+ y = x+3.

a. Vérifier que la fonction p définie sur R par p(x) = x + 1 est solution de

(E2).

b. Démontrer qu’une fonction g est solution de (E2) si, et seulement si, la

fonction g p est solution de (E1).

c. Déduire de 1. et 2.(b) les solutions de (E2)

d. Déterminer la solution générale de (E2) qui vérifie :

g (0)= 1 et g ′(0)= 2.

Partie B : étude d’une fonction f et courbe représentative

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle [0,+∞[ par :

f (x)= x+1+ xe−x .

On note (C ) la courbe représentative de f dans le planmuni du repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique 2 cm).

1. a. f ′ et f ′′ désignant respectivement les dérivées première et seconde de f ,

calculer, pour tout réel x, f ′(x) et f ′′(x).

b. étudier le sens de variation de la dérivée f ′.

c. Démontrer que, pour tout réel x, f ′(x)> 0.

d. Calculer la limite de f en +∞.

e. Dresser le tableau de variation de la fonction f .

2. a. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x+1 est asymptote à (C ) et

préciser la position relative de (D) et (C ).

b. La courbe (C ) admet en un point A une tangente parallèle à la droite (D).

Déterminer les coordonnées de A.

3. Démontrer que l’équation de f (x)= 2 admet sur [0,+∞[ une unique solution

notée α , puis vérifier que 0<α< 1.

4. a. Construire la droite (D), le point A défini au 2. b., la courbe (C ) et la

tangente en A à la courbe (C ).

b. Donner par lecture graphique une valeur approchée de α.

Partie C : Recherche d’une approximation décimale deα

Polynésie 2 juin 1998

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

1. Démontrer que, sur [0 ; +∞[, l’équation : f (x)= 2 équivaut à l’équation :

ex

ex +1 = x

2. On appelle h la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

h(x)= ex

ex +1 .

a. Calculer h′(x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] et réaliser le tableau

de variations de la fonction h.

b. En déduire que, pour tout réel x de [0 ; 1], h(x) appartient à [0 ; 1].

c. Calculer h′′(x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] ; étudier le sens de

variations de h′.

d. En déduire que, pour tout réel x de [0 ; 1],

06 h′(x)6 1

4

3. On définit la suite (un )n∈N par :

{

u0 = 0

un+1 = h(un )

pour tout entier naturel n.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un appartient à l’intervalle

[0 ; 1].

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

|un+1−α|6 1

4 |un α|

c. En déduire que, pour tout entier naturel n,

|un+1−α|6

(

1

4

)n

puis que la suite (un )n∈N converge vers α.

d. Déterminer un entier p tel que up soit une valeur approchée à 10 −6 près

deα et, à l’aide de la calculatrice, proposer une approximation décimale

de up à 10 −6 près. Que peut-on en déduire pour α ?

Polynésie 3 juin 1998

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