Exercitation de modélisation mathématique 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercitation de modélisation mathématique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation P (z)= 0. Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonomé...
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[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l’une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c’est un double.

1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscer- nables au toucher, sont mis dans un sac.

2. On tire simultanément trois dominos du sac.

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?

3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des évè- nements suivants :

a. J2 : « Le jaune figure deux fois »

b. J1 : « Le jaune figure une seule fois »

c. J : « Le jaune figure au moins une fois »

4. On effectue n tirages successifs d’un domino, en notant à chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants. Calculer, en fonction de n, la probabilité pn , que J soit réalisé au moins une fois. Calculer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle pn > 0,99.

EXERCICE 2 5 POINTS

Partie A On considère le polynôme P de la variable complexe z défini par :

P (z)= z4+2 p 3z3+8z2+2

p 3z+7

1. a. Calculer P (i) et P (−i) .

b. Montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré, que l’on détermi- nera, tel que :

pour tout z ∈C, P (z)= (

z2+1 )

Q (z)

2. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation P (z)= 0.

Partie B

Leplan est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique 2 cm).

1. Placer dans ce repère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = i,

zB =−i, zC =− p 3 et zD =−

p 3−2i.

Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre [CD].

2. Montrer qu’il existe une rotation de centre O qui transforme C en D. Calculer une valeur entière approchée à un degré près d’une mesure de l’angle de cette rotation.

3. Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport :

zB− zC zA− zC

Interpréter géométriquement le module et l’argument de ce rapport.

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 POINTS

Partie A : étude de fonctions

On considère les fonctions f1, f2, f3 définies sur R par :

f1 (x)= (x+1)e −x f2 (x)=−xe

x f3 (x)= (x−1)e −x

On appelle C1, C2, C3 leurs courbes représentatives respectives dans un repère or-

thogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

du plan. Les courbes C2 et C3 sont données sur le graphique

ci-dessous.

1. Étude de la fonction f1

a. Calculer la dérivée f ′1 de f1 et étudier son signe. En déduire les variations de f1.

b. Déterminer les limites de f1 en +∞, en −∞.

c. Dresser le tableau de variation de f1.

2. étude graphique.

a. Identifier sur la figure donnée les courbes C2 etC3 et placer sur le dessin

le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

b. Étudier la position relative des courbes C1 et C3.

c. Tracer C1 dans le même repère que C2 et C3 sur la figure fournie.

3. Étude d’équations différentielles.

a. Montrer que f1 est solution de l’équation différentielle :

(E1) y ′+ y = e−x

b. Montrer que f1 est aussi solution de l’équation différentielle :

(E2) y ′′+2y ′+ y = 0

c. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle (E2) . En dé- duire que f2 et f3 sont aussi des solutions de (E2) .

d. Parmi les solutions de (E2) , quelles sont celles qui sont aussi solutions de (E1) ?

Partie B : étude d’aires liées à C1 et C2

Pour n entier strictement positif, on appelle Mn le point de C3 d’abscisse n ln2. On pose :

f (x)= f1 (x)− f3 (x)

pour tout x réel.

1. Calculer, en unités d’aire, l’aireUn du domaine plan limité par la courbeC3, la courbe C1 et les segments [Mn ,Pn ] et [Mn+1Pn+1] pour n > 0. Pn et Pn+1 sont

les projections orthogonales respectives deMn etMn+1 sur (

O ; −→ ı

)

.

2. Calculer, en unités d’aire, l’aire Vn du trapèze PnMnMn+1Pn+1 pour n > 0.

Montrer que le rapport Vn

Un est constant.

Antilles–Guyane 2 juin 1998

Le baccalauréat de 1988 A. P. M. E. P.

Annexe

O

Antilles–Guyane 3 juin 1998

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