Exercitation de modélisation mathématique 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercitation de modélisation mathématique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: tracé de la courbe C, Calcul d’aire et étude d’une suite, Calculs d’aires.
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[ Baccalauréat S 1998 \ L’intégrale de mars à décembre 1998

Pour un accés direct cliquez sur les liensbleus

Pondichéry avril 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Amérique du Nord juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Antilles-Guyane juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Asie juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Centres étrangers juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

La Réunion juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Métropole juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Polynésie juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Antilles-Guyane septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Métropole septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Polynésie septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Sportifs de haut-niveau octobre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Amérique du Sud novembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Nouvelle-Calédonie décembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tapuscrit : Denis Vergès

Baccalauréat S : l’intégrale demars à décembre 1998 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. On dispose d’une urneU1 contenant trois boules rouges et sept boules noires.

On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considére que tous les tirages sont équiprobables.

a. Quelle est la probabilité p1 que les deux boules tirées soient rouges ?

b. Quelle est la probabilité p2 que les deux boules tirées soient noires ?

c. Quelle est la probabilité p3 que les deux boules tirées soient de même couleur ?

d. Quelle est la probabilité p4 que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?

2. On dispose aussi d’une deuxiéme urne U2 contenant quatre boules rouges et six boules noires.

On tire maintenant deux boules de l’urne U1 et une boule de l’urne U2 ; on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On considére les évènements suivants :

R : « Les trois boules tirées sont rouges »

D : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »

B : la boule tirée dans l’urne U2 est rouge ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement R.

b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?

c. Calculer la probabilité conditionnelle pD(B) de l’évènement B sachant que l’évènement D est réalisé.

Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire

On considére le polynômeP(z)= z4+17z2−28z+260, où z est un nombre complexe. 1. Déterminer deux nombres réels a et b tels que :

P(z)= (

z2+az+b )(

z2+4z+20 )

.

2. Résoudre dans C l’équation P(z)= 0.

3. Placer dans un repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, les images M, N, P et

Q des nombres complexes respectifs m = −2+ 4i, n = −2− 4i, p = 2+ 3i et q = 2−3i.

4. a. Déterminer le nombre complexe z vérifiant zp zm

= i. Placer son image K.

b. En déduire que le triangle MPK est isocéle rectangle en K.

4. a. Déterminer par le calcul l’affixe du point L, quatriéme sommet du carré MKPL.

b. Déterminer l’abscisse du point d’intersection R de la droite (KL) et de l’axe des abscisses.

c. Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Probléme 11 points

On considére la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= ex −1 xex +1

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repére ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→ )

; unité graphique : 4 cm.

Partie A

étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

g (x)= x+2−ex .

1. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[ et déterminer la limite de g en +∞.

2. a. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution et une seule dans [0 ; +∞[. On note α cette solution.

a. Prouver que 1,14<α< 1,15. 2. En déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

Étude de la fonction f et tracé de la courbe C

1. a. Montrer que, pour tout x appartenant à [0 ; +∞[,

f ′(x)= exg (x)

(xex +1)2 .

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +∞[. 2. a. Montrer que pour tout réel positif x,

f (x)= 1−e−x

x+e−x

b. En déduire la limite de f en +∞. Interpréter graphiquement le résultat trouvé.

3. a. Établir que f (α)= 1

α+1 .

b. En utilisant l’encadrement de α établi dans la question A.2., donner un encadrement de f (α) d’amplitude 10−2.

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbeC au point d’abscisse 0.

5. a. Établir que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,

f (x)− x = (x+1)u(x) xex +1

avecu(x)= ex xex −1.

b. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle [0 ; +∞[. En déduire le signe de u(x).

c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rap- port à la droite (T).

6. Tracer C et (T).

Pondichéry 4 avril 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Partie C

Calcul d’aire et étude d’une suite

1. Déterminer une primitive F de f sur [0 ; +∞[ ; on pourra utiliser l’expression de f (x) établie dans la question B. 2.

2. On note D le domaine délimité par la courbe C , la tangente (T) et les droites d’équations x = 0 et x = 1. Calculer, en cm2, l’aire A du domaine D.

Donner une valeur décimale aumm2 prés de l’aire A .

3. Pour tout entier naturel n, on pose

vn = ∫n+1

n f (x)dx

a. Calculer v0, v1 et v2.

On donnera des valeurs décimales approchées à 10−2 prés de v0, v1 et v2.

b. Interpréter graphiquement vn .

c. Montrer que, pour tout n> 2,

f (n+1)6 ∫n+1

n f (x)dx 6 f (n)

En déduire la monotonie de la suite (vn) à partir de n = 1. d. Déterminer la limite de la suite (vn).

Pondichéry 5 avril 1998

[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1998 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Afin de créer une loterie, on met dans une urne n billets différents (n supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants.

1. Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billes dans l’urne.

a. Onsuppose icin = 10. X désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabi- lité de X .

b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la pro- babilité notée pn , d’avoir exactement un billet gagnant parmi des deux choisis.

2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en re- mettant le premier bilet tiré avant de tirer le second.

a. Onsuppose icin = 10.Y désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabi- lité de Y .

b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la pro- babilité, notée qn d avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis.

3. a. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 3, on a :

pn qn = 4(n−2) n2(n−1)

.

b. En remarquant que pour tout entier n, n−2 est inférieur à n−1, déter- miner un entier naturel n0 tel que pour tout n supérieur ou égal à n0, on ait pn qn < 10− 3.

c. Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer l’un aprés l’autre en remettant le premier billet tiré ?

Exercice 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, (unité

graphique : 4 cm), on donne les points A et B d’affixes respectives 1 et 1

2 − i

p 3

2 .

Pour chaque point M du plan, d’affixe z, M1 d’affixe z1, désigne l’image deM par la

rotation de centre O et d’angle π

3 , puisM ′ d’affixe z ′ l’image deM1 par la translation

de vecteur − −→u . Enfin, on note T la transformation qui à chaque point M associe le point M ′.

1. a. Démontrer : z ′ = ei π 3 z−1.

b. Déterminer l’image du point B.

c. Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l’af- fixe.

2. On pose z = x+ iy , avec x et y réels.

a. Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotient z

z en fonction de x

et de y .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Démontrer que l’ensemble (E), des points M du plan tels que le triangle OMM ′ soit rectangle en 0, est un cercle (C), dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer (E).

3. Dans cette question on pose z = 1+ i. a. Vérifier que M appartient à (E). PlacerM et M ′ sur la figure.

b. Calculer le module de z ′.

c. Calculer l’aire, en cm2, du triangle OMM ′.

Probléme 10 points

Ondésigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considére les fonctions, notées fn , qui sont définies pour x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= 1+n lnx

x2 .

Partie A I. Étude des fonctions fn

1. Calculer f n (x) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le numérateur est n−2−2n ln x.

2. Résoudre l’équation f n (x)= 0. Étudier le signe de f n(x). 3. Déterminer la limite de fn en +∞. 4. Établir le tableau de variations de la fonction fn et calculer sa valeurmaximale

en fonction de n.

II. Représentation graphique de quelques fonctions fn .

Le plan est rapporté à un repére orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, (unité graphique : 5 cm).

On note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans ce repére.

1. Tracer C2 et C3.

2. a. Calculer fn+1(x)− fn (x) . Cette différence est-elle dépendante de l’entier n ?

b. Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe C4 à partir de C2 et tracer C3. Tracer C4.

Partie B : Calculs d’aires

1. Calculer en intégrant par parties, l’intégrale I = ∫e

1 lnx dx.

2. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par les courbes Cn , Cn+1 et les droites d’équation x = 1 et x = e.

3. On note An l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe Cn , et les droites d’équation y = 0, x = 1 et x = e.

a. Calculer A2.

b. Déterminer la nature de la suite An en précisant l’interprétation gra- phique de la raison.

Partie C : Étude sur l’intervalle ]1 ; +∞[ de l’équation fn (x) = 1

Dans toute la suite, on prendra n> 3.

1. a. Vérifier que pour tout n, e n−2 2n > 1 et fn

(

e n−2 2n

)

> 1.

b. Vérifier que l’équation fn (x)= 1n’a pas de solution sur l’intervalle ]

1 ; e n−2 2n

[

.

Amérique du Nord 7 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

2. Montrer que l’équation fn(x) = 1 admet sur l’intervalle [

e n−2 2n ; +∞

[

exacte-

ment une solution notée αn .

3. On se propose de déterminer la limite de la suite αn .

a. Calculer f (p

n )

et montrer que pour tout n > e2, on a fn (p

n )

> 1.

b. En déduire que, pour n > 8, on a αn > p n et donner la limite de la suite

(αn).

Amérique du Nord 8 juin 1998

[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l’une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c’est un double.

1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscer- nables au toucher, sont mis dans un sac.

2. On tire simultanément trois dominos du sac.

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?

3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des évè- nements suivants :

a. J2 : « Le jaune figure deux fois »

b. J1 : « Le jaune figure une seule fois »

c. J : « Le jaune figure au moins une fois »

4. On effectue n tirages successifs d’un domino, en notant à chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants. Calculer, en fonction de n, la probabilité pn , que J soit réalisé au moins une fois. Calculer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle pn > 0,99.

EXERCICE 2 5 POINTS

Partie A On considére le polynôme P de la variable complexe z défini par :

P (z)= z4+2 p 3z3+8z2+2

p 3z+7

1. a. Calculer P (i) et P (−i) . b. Montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré, que l’on détermi-

nera, tel que : pour tout z ∈C, P (z)=

(

z2+1 )

Q (z)

2. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation P (z)= 0.

Partie B

Leplan est rapporté au repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique 2 cm).

1. Placer dans ce repére les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = i, zB =−i, zC =−

p 3 et zD =−

p 3−2i.

Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamétre [CD].

2. Montrer qu’il existe une rotation de centre O qui transforme C en D. Calculer une valeur entiére approchée à un degré prés d’une mesure de l’angle de cette rotation.

3. Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport :

zB− zC zA− zC

Interpréter géométriquement le module et l’argument de ce rapport.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

PROBLÉME 11 POINTS

Partie A : étude de fonctions

On considére les fonctions f1, f2, f3 définies sur R par :

f1 (x)= (x+1)e−x f2 (x)=−xe−x f3 (x)= (x−1)e−x

On appelle C1, C2, C3 leurs courbes représentatives respectives dans un repére or-

thogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

du plan. Les courbes C2 et C3 sont données sur le graphique

ci-dessous.

1. Étude de la fonction f1

a. Calculer la dérivée f ′1 de f1 et étudier son signe. En déduire les variations de f1.

b. Déterminer les limites de f1 en +∞, en −∞. c. Dresser le tableau de variation de f1.

2. Étude graphique.

a. Identifier sur la figure donnée les courbes C2 etC3 et placer sur le dessin

le repére (

O, −→ ı ,

−→ )

.

b. Étudier la position relative des courbes C1 et C3.

c. Tracer C1 dans le même repére que C2 et C3 sur la figure fournie.

3. Étude d’équations différentielles.

a. Montrer que f1 est solution de l’équation différentielle :

(E1) y ′+ y = e−x

b. Montrer que f1 est aussi solution de l’équation différentielle :

(E2) y ′′+2y ′+ y = 0

c. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle (E2) . En dé- duire que f2 et f3 sont aussi des solutions de (E2) .

d. Parmi les solutions de (E2) , quelles sont celles qui sont aussi solutions de (E1) ?

Partie B : étude d’aires liées à C1 et C2

Pour n entier strictement positif, on appelle Mn le point de C3 d’abscisse n ln2. On pose :

f (x)= f1 (x)− f3 (x)

pour tout x réel.

1. Calculer, en unités d’aire, l’aireUn du domaine plan limité par la courbeC3, la courbe C1 et les segments [MnPn] et [Mn+1Pn+1] pour n > 0. Pn et Pn+1 sont les projections orthogonales respectives deMn etMn+1 sur

(

O ; −→ ı )

.

2. Calculer, en unités d’aire, l’aire Vn du trapéze PnMnMn+1Pn+1 pour n > 0. Montrer que le rapport

Vn

Un est constant.

Antilles–Guyane 10 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Annexe

−→ ı

−→

O

Antilles–Guyane 11 juin 1998

[ Baccalauréat C Asie juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan complexe P est rapporté à un repére direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, ayant comme unité

graphique 3 cm. Les nombres complexes z1, z2, z3, z4, z5 et z6 que l’on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme expo- nentielle

(

ρeiθ )

.

1. Résoudre dans C l’équation :

z2− z p 3+1= 0.

On pose z1 = p 3+ i 2

et z2 = p 3− i 2

. Exprimer z1 et z2 sous forme exponentielle

et placer les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2 dans le plan P .

2. Soit r la rotation de centre O et d’angle 2π

3 .

Calculer l’affixe z3 du point M3 = r (M2). Placer M3 sur la figure précédente.

3. Soit t la translation dont le vecteur ~w a pour affixe − p 3+ i 2

.

Calculer l’affixe z4 du point M4 = t(M2). Placer M4 sur la figure.

4. Soient z5 = i

2 (1+ i

p 3) et z6 =

2

i− p 3 .

Exprimer z5 et z6 sous forme algébrique et sous forme exponentielle.

Placer les points M5 et M6 d’affixes respectives z5 et z6 sur la figure.

5. a. Calculer z6 k pour k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b. Écrire z6+1 sous forme d’un produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.

EXERCICE 2 4 POINTS

Les questions 1 et 2 sont indépendantes. N* est l’ensemble des entiers strictement positifs.

Pour tout entier n deN⋆, on considére l’intégrale : In = ∫e

1 (lnx)n dx.

1. a. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 ; e[, et pour tout n entier naturel, on a :

(lnx)n − (lnx)n+1 > 0

b. En déduire que la suite (In ) est décroissante.

2. a. Calculer I1 à l’aide d’une intégration par parties.

b. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n ∈ N*, In = e− (n+1)In .

c. En déduire I2, I3 et I4. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et les valeurs approchées à 10−3 prés par défaut.

3. a. Démontrer que, pour tout n ∈N*, In > 0. b. Démontrer que, pour tout n ∈N*, (n+1)In 6 e. c. En déduire la limite de In .

d. Déterminer la valeur de nIn + (In + In+1) et en déduire la limite de nIn .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 4 POINTS Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repére orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, l’unité graphique étant 1 cm.

1. Soit (C ) la courbe dont une représentation paramétrique est :

x = f (t) = 1

2

(

t2+2 )

y = g (t) = 1

2

(

t3+2t )

, t ∈R

a. Montrer que (C ) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

b. Étudier conjointement les variations des fonctions f et g sur [0 ; +∞[. c. Préciser la tangente au point de paramétre t = 0. d. Tracer la courbe (C ).

2. Soit (P ) la parabole d’équation y2 = 4x. a. Tracer (P ) dans le même repére que (C ).

b. Vérifier qu’une représentation paramétrique de (P ) est :

{

x(t) = t2 y(t) = 2t , t ∈R

c. Soit (Dt ) la tangente à (P ) au point Mt de coordonnées (x(t) ; y(t)).

Soit (∆t ) la perpendiculaire à (Dt ) au pointMt . Montrer qu’une équation cartésienne de (∆t ) est :

Y =− tX + t3+2t .

d. Pour t ∈ R⋆, (∆t ) coupe l’axe des abscisses en un point At et l’axe des ordonnées en un point Bt . On appelle It le milieu du segment [AtBt ].

Exprimer en fonction de t les coordonnées du point It .

PROBLÉME 11 POINTS

I

Soit la fonction g définie sur R, qui à tout x associe :

g (x)= ex (x−1)+ x2 .

1. a. Montrer que la dérivée de la fonction g sur R est

g ′(x)= x(ex +2)

b. Déterminer les limites de g en +∞ et en −∞. c. Étudier le signe de g ′(x) sur R, et dresser le tableau de variation de g sur

R.

2. Montrer que l’équation : g (x) = 0 admet une solution α et une seule sur l’in-

tervalle [0 ; +∞[. Montrer que α est dans l’intervalle I= [

1

2 ; 1

]

.

II

Asie 13 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= ex

ex + x 1. Montrer que les équations : f (x)= x et g (x)= 0 sont équivalentes sur [0 ; +∞[,

et que, par suite, l’équation f (x)= x admet α pour solution unique sur I. 2. a. Calculer la dérivée de f et endéduire le sens de variationde f sur [0 ; +∞[.

b. Déterminer la limite de f en +∞[. c. Dresser le tableau de variation de f .

d. Construire la courbe représentative C de f sur [0 ; +∞[ dans un repére orthonormal (unité 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes à C aux points d’abscisses 0 et 1.

III

1. Montrer que, pour tout x appartenant à I , f (x) appartient à I .

2. Soit la suite (un )u∈N définie par

{

u1 = 1

2 un = f (un−1) pour tout n > 1

a. Montrer que, pour tout n ∈N⋆, un I .

b. Montrer que, pour tout x I , | f ′(x)|6 1

2 .

c. En appliquant le théoréme de l’inégalité des accroissements finis, dé- montrer que :

pour tout n > 1, |un α|6 1

2 |un−1−α|.

d. Endéduire, par un raisonnement par récurrence, quepour toutn ∈N∗, |un

α|6 (

1

2

)n

.

e. En déduire que (un ) converge vers α.

f. A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approchée de α à 10−7 prés ?

3. Enutilisant la décroissancede f ,montrer queα est compris entre deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement de α d’am- plitude 10−7.

Asie 14 juin 1998

[ Baccalauréat C Centres étrangers juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS Commun à tous les candidats

Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue n tirages successifs (n entier supérieur ou égal à 1) d’une boule en res- pectant la régle suivante : - si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ; - si elle est blanche, on ne la remet pas. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A

Dans cette partie n = 3. On donnera les résultats sous forme de fractions irréduc- tibles. Si k est un entier compris entre 1 et 3, on note Ek l’évènement « seule la k-iéme boule tirée est blanche ». Par exemple, E1 est l’évènement « seule la premiére boule tirée est blanche ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement E1 est p(E1)= 5

36 .

2. Calculer les probabilités des évènements E2 et E3. En déduire la probabilité qu’on ait tiré une seule boule blanche à l’issue des trois tirages.

3. Sachant que l’on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée en dernier ?

Partie B

On effectue maintenant n tirages.

1. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de tirer au moins une boule blanche en n tirages.

2. Quelles valeurs faut-il donner à n pour que pn > 0,99 ?

Exercice 2 4 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. L’unité gra-

phique est de 3 cm. On considére les points B, C, D, E définissant le carré de sens direct BCDE d’affixes respectives :

b = 1− i ; c =−1− i ; d =−1−3i ; e = 1−3i

1. Calculer |b|, |c|, |d | et |e|. 2. Soit Γ le cercle de centre O passant par B. Déterminer une équation du cercle

Γ. On considére Q un point de Γ distinct de B et C. L’affixe de Q est notée q = x+ iy (avec x et y réels).

3. Soient F et G les points du plan tels que QBFG soit un carré de sens direct,

c’est-à-dire tels que (−−→ QB ,

−−→ QG

)

= + π

2 . On pose Z =

g q bq

g est l’affixe du

point G.

Interpréter géométriquement le module et un argument de Z . En déduire Z .

4. Prouver que g = (1+ x+ y)+ i(1− x+ y). En déduire |g | en fonction de x et y . 5. En utilisant la question 2), exprimer |g | en fonction de x et y .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

6. À l’aide de considérations géométriques, prouver que : I f | = |g |, f étant l’af- fixe du point F .

7. Pour quelles valeurs de x et de y les points E, D, G et F sont-ils sur un cercle de centre O ?

Préciser le rayon de ce cercle. En déduire alors la nature du triangleQBC.

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : où on construit un triangle équilatéral.

On considére la figure suivante où (∆) et (D) sont deux droites paralléles et A un point situé entre les deux droites et n’appartenant à aucune d’entre elles.

(D)

(∆)

A

On sepropose de construire un triangle équilatéral ABC tel queB etC appartiennent respectivement aux droites (D) et (∆).

Dans toute la suite, on note R la rotation de centre A et d’angle + π

3 .

1. On considére la droite (D ′) image de (D) par la rotation R. Montrer que (D ′) coupe (∆). On note C le point d’intersection de (D’) de (∆).

2. Soit B =R− 1(C). Montrer que le triangle ABC répond au probléme posé. 3. Construire la droite

(

D ′ )

et placer les points B et C.

Partie B : où on calcule l’aire de ce triangle équilatétal. Soit O le projeté orthogonal

de A sur la droite (D). Le plan est rapporté au repére orthonormal direct (O , −→ u ,

−→ v )

où −→ u est un vecteur directeur de (D) et

−→ v est choisi de sorte que le point A ait pour

affixe ai (a réel positif). On noteα la distance du point A à la droite (∆). Soit B un point de (D) d’affixe zB, (zB est réel). On appelle zC l’affixe du point C image de B par la rotation R.

1. Montrer que zC = 1

2

(

zB+a p 3 )

+ i

2

(

a+ zB p 3 )

.

2. En déduire que le point C appartient à la droite (∆) si et seulement si

zB = 1 p 3 (a+2α).

Dans la suite, on prendra cette valeur pour zB.

3. Exprimer AB2 en fonction de a et de α.

En déduire que l’aire du triangle équilatéral ABC est S = p 3

3 (a2++α2).

Probléme 11 points

Le but du probléme est l’étude d’une fonction gk , où k est un réel fixe qui vérifie : 0< k < e. Dans la partie A onmet en évidence certaines propriétés d’une fonction f qui seront utilisées dans la partie B.

Partie A

Centres étrangers 16 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur R par :

f (x)= (2− x)ex k.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞. 2. Calculer f ′(x). En déduire le tableau de variation de f . Calculer f (1)

3. a. Établir que l’équation f (x) = 0 a deux solutions, une notée αk apparte- nant à l’intervalle ]− ∞ ; 1[ et une autre notée βk appartenant à l’inter- valle ]1 ; +∞[.

b. Montrer que eαk kαk = (eαk k) (αk −1). On démontrerait de même que βk vérifie l’égalité

eβk kβk = (

eβk k )

(βk −1). 4. Préciser le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

1. Soit u la fonction de la variable réelle x définie sur R par : u(x)= ex kx. a. Étudier le sens de variation de u.

b. On rappelle que 0< k < e. Justifier la propriété suivante

pour tout réelx, ex kx > 0.

2. Soit gk la fonction définie sur R par : gk (x) = ex k ex kx

. On note Ck la courbe

représentative de la fonction gk dans le plan rappporté à un repére orthogo- nal.

a. Déterminer la limite de gk en −∞ et en +∞.

b. Prouver que : g k (x)=

k f (x)

(ex kx)2 .

c. En déduire le tableau de variation de gk . Calculer gk (1).

3. On nomme Mk et Nk les points de la courbe Ck d’abscisses respectives αk et βk .

a. En utilisant la question 3)b) (partie A), montrer que gk (αk )= 1

αk −1 .

b. Donner de même gk (βk ).

c. Déduire de la question précédente que lorsque k varie les points Mk et Nk sont sur une courbe fixe H dont on donnera une équation.

4. Représentations graphiques pour des valeurs particuliéres de k :

a. Déterminer la position relative des courbes C1 et C2.

b. Prouver que α2 = 0. c. Enprenant comme unité 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des

ordonnées, construire les courbes C1, C2 et H sur le même graphique.

On prendra α1 =−1,1 ; β1 = 1,8 ; β2 = 1,6.

Centres étrangers 17 juin 1998

[ Baccalauréat C La Réunion juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Les réponses seront données sous forme de fractions.

Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l’on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se pré- sentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le pre- mier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxiéme. On note A1 l’évènement : « les deux sujets obtenus par le premier candidat pro- viennent du même examinateur » et A2 l’évènement : « les deux sujets obtenus par le deuxiéme candidat proviennent dumême examinateur ». On note A l’évènement contraire de l’évènement A.

1. Montrer que la probabilité de l’évènement A1 est égale à 1

19 .

2. a. Calculer directement la probabilité conditionnelle p (A2/A1) de l’évène- ment A2 sachant que A1 est réalisé.

b. Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun

deux sujets provenant d’un même examinateur est égale à 1

323 .

3. a. Calculer la probabilité p (

A2/A1 )

.

b. En remarquant que A2 = (A2∩ A1)∪ (

A2∩ A1 )

, calculer la probabilité

p (A2) puis en déduire que p (A2∪ A1)= 33

323 .

4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi cha- cun deux sujets provenant d’un même examinateur. La variable aléatoire X prend donc les valeurs 0, 1 ou 2.

a. Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement obligatoire

Dans l’espace muni d’un repére orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on donne A, B et

C de coordonnées respectives (2 ; 0 ; 1), (3 ; −2 ; 0) et (2 ; 8 ; −4). Aucune figure n’est demandée.

1. Un point M étant de coordonnées (x ; y ; z), exprimer en fonction de x, y et z

les coordonnées du produit vectoriel −−→ AM ∧−−→BM .

2. Résoudre le systéme :

x+ y −2z = −4 −xy z = −11 2x+ y z = 8

On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie.

3. Montrer qu’il existe un unique point N vérifiant −−→ AN ∧−−→BN =−−→CN et donner les

coordonnées du point N .

4. On rappelle que le volume d’un tétraédre s’obtient par la formule V = 1

3 B×h

où B représente l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

a. Le point N étant défini à la question précédente, montrer que le volume

du tétraédre ABCN est égal à 1

6 CN2.

b. En utilisant les résultats du 1., et en prenant M = C, calculer l’aire du triangle ABC.

c. Utiliser les résultats précédents pour calculer la distance du point N au plan (ABC).

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté rapporté au repére orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité : le

cm), on trace le cercle (C ) de diamétre [AO] oùA est le point de coordonnées (−6 ; 0) ; on appelle Ω le centre de (C ). Si P est un point de (C ), on note K le projeté orthogonal de P sur la droite (AO) et M

le point défini par −−→ KM =−→AP .

Soit t une mesure en radians de l’angle (−−→ ΩO ,

−−→ ΩP

)

.

On veut déterminer l’ensemble (E ) des points M de paramétre t obtenu lorsque P décrit (C ).

1. Sur une figure qui sera complétée à la question 5, représenter (C), placer un point P et les points K et M correspondants.

2. a. Exprimer en fonction de t les coordonnées du point P puis celles du point M.

b. En déduire une représentation paramétrique de (E ).

c. SoitM′ le point de (E ) de paramétreπt . Par quelle transformation peut- on obtenir le point M′ à partir du point M de paramétre t ?

3. Soit N le point (E ) de paramétre t + π

2 . Montrer que le vecteur

(−−→ ON

)

est un

vecteur directeur de la tangente à (E ) au point M de paramétre t .

4. Dessin de (E ) :

a. Dresser le tableau des variations conjointes des coordonnées de M pour

t appartenant à [

0 ; π

2

]

.

b. Construire les points M1 M2 et M3 obtenus pour les valeurs de t sui-

vantes : π

6 , π

4 , π

3 et utiliser le résultat des questions 3 et 4 et pour construire

trois autres points de (E ) ainsi que les tangentes à (E ) en M1, M2 et M3.

c. Achever le dessin de (E ).

N. B. La question 5. a. a été transformée (elle demandait d’indiquer la nature de (E ) et de placer les sommets de (E )) afin de tenir compte des modifica- tions de programme. Par ailleurs, cet exercice peut être traité désormais dans le cadre de l’enseignement obligatoire.

PROBLÉME 11 POINTS

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= ex x2

dont la courbe représentative C f dans un repére orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, est don-

née sur le graphique ci-dessous à compléter et à rendre avec la copie.

La Réunion 19 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

1

1

O x

y

C f

On considére la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x)= f (x)

x =

ex

x x

et on note Cg sa courbe représentative dans le même repére.

Partie A : Remarques préliminaires concernant la fonction f

1. Sans chercher à déterminer son équation, tracer la tangente à C f passant par O. On notera A son point de contact avec C f . Évaluer graphiquement le coef- ficient directeur de cette tangente en expliquant le procédé utilisé.

2. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I = ∫2

1 f (x) dx, puis en donner une va-

leur approchée à 10−2 prés.

3. En déduire une interprétation graphique du nombre réel : e2−e− 7

3 .

Partie B : Étude de la fonctiong

1. Étudier les limites de g en+∞ et en 0 et justifier queCg admet une asymptote. 2. a. Calculer la dérivée g ′(x) et montrer qu’elle est du signe de (x−1)ex x2

sur l’intervalle ]0 ; +∞[. b. Soit u la fonction qui à tout x de l’intervalle [0 ; +∞[ associe

u(x) = (x − 1)ex x2. Étudier le sens de variation de u sur l’intervalle [0 ; +∞[.

c. Déterminer le signe de u(x) sur l’intervalle [0 ; 1[.

d. Montrer que l’équation u(x)= 0 admet une solution unique a sur l’inter- valle [1 ; 2].

Endéduire, suivant les valeurs de x, le signedeu(x) sur l’intervalle [0 ; +∞[. e. En déduire le signe de g ′(x) et dresser la tableau de variation de g .

Partie C : Construction de Cg

1. On se propose de construire le point S(a ; g (a)) où a est le réel déterminé dans la question B. 2. d.

La Réunion 20 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

a. Montrer que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, g ′(x)= 0 équivaut à f ′(x)= f (x)

x

et que par conséquent f ′(a)= f (a)

a .

b. En utilisant ce résultat, établir que a est l’abscisse du point A défini dans la premiére partie.

c. Justifier que l’ordonnée de S est f ′(a) et placer S sur le dessin.

2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de C f et Cg .

3. Construire la courbe Cg .

Partie D : Étude d’une primitive de g et calcul d’une intégrale

SoitG la primitive de g sur l’intervalle [1 ; 2] qui s’annule pour x = 1 (on ne cherchera pas à calculer cette primitive).

1. Déterminer le sens de variation deG sur [1 ; 2].

2. Donner une interprétation géométrique du nombre G(2). Dans la suite, on prendra 1,55 comme valeur approchée deG(2) à 10−2 prés.

3. On considére l’intégrale J = ∫2

1 G(x)dx.

a. Justifier que l’intégrale I calculée dans la premiére partie peut s’écrire

I = ∫2

1 xg (x)dx.

b. En utilisant une intégration par parties, établir que I = 2G(2)− J et en déduire une valeur approchée de J , à 10−2 prés.

La Réunion 21 juin 1998

[ Baccalauréat S Métropole juin 1998 \

EXERCICE 1 5 points

Dans tout l’exercice, A et B étant deux évènements, P(A) désigne la probabilité de A ; P(B / A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité :

i 0 1 2 pi =P (X = i ) 0,1 0,5 0,4

a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

2. Dans cette station-service, la probabilité qu’un client achéte de l’essence est 0,7 ; celle qu’il achéte du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considére les évènements suivants :

C1 « en cinq minutes, un seul client se présente » ;

C2 « en cinq minutes, deux clients se présentent » ;

E : « en cinq minutes, un seul client achète de l’essence ».

a. Calculer P(C1 ∩ E). b. Montrer que P(E/C2) = 0,42 et calculer P(C2 ∩ E) . c. En déduire la probabilité qu’en cinq minutes un seul client achéte de

l’essence.

3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l’essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y .

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. Résoudre dans C l’équation :

(1) z−2 z−1

= z

On donnera le module et un argument de chaque solution.

2. Résoudre dans C l’équation :

(2) z−2 z−1

= i

On donnera la solution sous forme algébrique.

3. Soit M , A et B les points d’affixes respectives : z, 1 et 2. On suppose queM est distinct des points A et B.

a. Interpréter géométriquement le module et un argument de z−2 z−1

.

b. Retrouver géométriquement la solution de l’équation (2).

4. a. Montrer, à l’aide d’une interprétation géométrique, que toute solution de l’équation dans C :

(

z−2 z−1

)n

= i,

n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle 3

2 .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Résoudre alors dans C l’équation

(3)

(

z−2 z−1

)2

= i.

On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considére un rectangle ABCD tel

que AB = p 2, AD = 1 ; (

−−→ AB ,

−−→ AD ) est un angle droit direct ; I désigne le milieu de [AB].

A. Soit E l’ensemble des points M du plan tels queMD2−MB2 = 1.

1. Vérifier que les points C et I appartiennent à E .

2. a. Déterminer et construire l’ensemble E .

b. En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires.

B. Le plan est rapporté au repére orthonormé direct (A ; ~u, ~v) avec ~u = 1 p 2

−−→ AB et

~v =−−→AD . Soit S une similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′, telle que z ′ = az+b,a et b étant des nombres complexes, avec a 6= 0.

1. Déterminer les nombres a et b pour que S(D) = C et S(C) = B.

2. Soit T la similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’af- fixe z ′ telle que

z ′ =− i p 2

2 z+

p 2

2 + i.

Déterminer le rapport et l’angle de T.

3. Montrer que la similitude T transforme B en I.

4. En déduire une autre justification de l’orthogonalité des droites (BD) et (CI).

5. Montrer que le centreΩde la similitudeT est le point d’intersectiondes droites (BD) et (CI).

Probléme 10 points

Les tracés des courbes seront faits dans un plan rapporté à un repére orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité : 2 cm).

On rappelle qu’une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussi que g est minorée par f ) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout x apparte- nant à I , f (x)< g (x).

PARTIE A

Soit f et g les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= ln(1+ x) et g (x)= 2x

1+ x .

On notera C la représentation graphique de f et Γ celle de g . On se propose de démontrer que f est minorée par g sur [0;+∞[. Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞[ par h(x)= f (x)− g (x).

1. Étudier le sens de variation de h sur [0 ; +∞[ ; calculer h(0). (L’étude de la limite de h en +∞ n’est pas demandée.)

Métropole 23 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

2. En déduire que pour tout réel x positif ou nul,

(1) 2x

x+2 < ln(1+ x).

3. Construire dans le même repére les courbes C et Γ et montrer qu’elles ad- mettent en 0 unemême tangenteD que l’on tracera. (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes.)

PARTIE B

k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonc- tions linéaires x 7→ kx , majorant la fonction f : x 7→ ln(1+ x) sur [0 ; +∞[. Soit fk la fonction définie sur [0 ; +∞[ par fk (x)= ln(1+ x)−kx.

1. Étudier le sens de variation de f1, définie sur [0 ; +∞[ par f1(x)= ln(1+x)−x. 2. Étudier la limite de f , en +∞[ et donner la valeur de f1 en 0. 3. Montrer que pour tout réel x positif ou nul

(2) ln(1+ x)6 x. 4. En déduire que si k > 1 alors : pour tout x > 0, f (x)6 kx.

5. Le réel k vérifie les conditions : 0< k < 1 . Montrer que la dérivée de fk s’annule pour x =

1−k k

et étudier le sens de va-

riation de fk . (L’étude de la limite de fk en +∞ n’est pas demandée.) 6. En déduire les valeurs de k strictement positives telles que pour tout

x > 0, f (x)< kx.

PARTIE C

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer

I= 1 ∫

0

ln(1+ x)dx.

(On remarquera éventuellement que : x

1+ x = 1−

1

1+ x .

Endéduire le calcul de J = ∫1

0 (x−ln(1+x)dx puis deK=

∫1

0

[

ln(1+ x)− 2x

x+2

]

dx.

(Pour le calcul de K on pourra vérifier que : 2x

x+2 = 2−

4

2+ x .)

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes C , Γ et la droite D obtenues dans la partie A.

2. Soit u la fonction définie sur [0 ; 1] de la façon suivante :

u(0)= 1 et si x 6= 0, u(x)= ln(1+ x)

x .

a. Démontrer que la fonction u est dérivable sur ]0 ; 1].

b. On admet que u est dérivable sur [0 ; 1 ] et on pose :

L= ∫1

0 u(x)dx.

En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, mon- trer que :

∫1

0

2

x+2 dx < L < 1.

En déduire une valeur approchée de L à 10−1 prés.

Métropole 24 juin 1998

[ Baccalauréat C Polynésie juin 1998 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne A :

• si elle est noire, on la place dans l’urne B, • sinon, on l’écarte du jeu.

On tire au hasard ensuite une boule de l’urne B. On considère les évènements suivants : R1 : « La boule tirée de A est rouge » ; N1 : « La boule tirée de A est noire » ; R2 : « La boule tirée de B est rouge » ; N1 : « La boule tirée de B est noire ».

1. a. Calculer les probabilités des évènements R1 et N1.

b. Calculer les probabilités des évènements «R2 sachant R1 » et «R2 sachant

N1 ». En déduire que la probabilité de R2 est de 27

50 .

c. Calculer la probabilité de N2.

2. On répète n fois l’épreuve précédente (tirage d’une boule de A, suivie du tirage d’une boule de B dans les mÍmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes.

Quel nombreminimumd’essais doit-on effectuer pour que la probabilité d’ob- tenir au moins une fois une boule rouge de l’urne B soit supérieure à 0,99 ?

EXERCICE 2 5 POINTS

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique

2 cm). On note A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 3+2i. On appelle f l’application qui, à tout point M distinct de A et d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = z−1+2i z−1

1. Calculer les affixes des points O′ et B′, images respectives des points O et B par f . Placer les points A, O′, B et B′ dans le plan.

2. a. Calculer, pour tout complexe z différent de 1, le produit

(

z ′−1 )

(z−1)

b. En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a :

AM ×AM ′ = 2 et (−→ u ,

−−→ AM

)

+ (−→ u ,

−−−→ AM

)

= π

2 +2, k ∈Z

3. Démontrer que, si M appartient au cercle (C ) de centre A passant par O, alors M ′ appartient à un cercle (C ′). En préciser le centre et le rayon.

Construire (C ) et (C ′).

4. a. Déterminer l’angle (−→ u ,

−−→ AB

)

.

b. Démontrer que, siM est un point autre que A de la demi-droite (d) d’ori- gine A, passant par B, alors M ′ appartient à une demi-droite que l’on précisera.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

5. On appelle P le point d’intersection du cercle (C ) et de la demi-droite (d).

Placer son image P′ sur la figure.

EXERCICE 2 10 POINTS

Partie A : Résolution d’une équation différentielle

1. Déterminer les fonctions définies sur R solutions de l’équation différentielle (E1) :

y ′′+2y ′+ y = 0.

2. On considère l’équation différentielle (E2) :

y ′′+2y ′+ y = x+3.

a. Vérifier que la fonction p définie sur R par p(x) = x + 1 est solution de (E2).

b. Démontrer qu’une fonction g est solution de (E2) si, et seulement si, la fonction g p est solution de (E1).

c. Déduire de 1. et 2.(b) les solutions de (E2)

d. Déterminer la solution générale de (E2) qui vérifie :

g (0)= 1 et g ′(0)= 2.

Partie B : étude d’une fonction f et courbe représentative

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f (x)= x+1+ xe−x .

On note (C ) la courbe représentative de f dans le planmuni du repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique 2 cm).

1. a. f ′ et f ′′ désignant respectivement les dérivées première et seconde de f , calculer, pour tout réel x, f ′(x) et f ′′(x).

b. Étudier le sens de variation de la dérivée f ′.

c. Démontrer que, pour tout réel x, f ′(x)> 0. d. Calculer la limite de f en +∞. e. Dresser le tableau de variation de la fonction f .

2. a. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x+1 est asymptote à (C ) et préciser la position relative de (D) et (C ).

b. La courbe (C ) admet en un point A une tangente parallèle à la droite (D). Déterminer les coordonnées de A.

3. Démontrer que l’équation de f (x)= 2 admet sur [0,+∞[ une unique solution notée α , puis vérifier que 0<α< 1.

4. a. Construire la droite (D), le point A défini au 2. b., la courbe (C ) et la tangente en A à la courbe (C ).

b. Donner par lecture graphique une valeur approchée de α.

Partie C : Recherche d’une approximation décimale de α

Polynésie 26 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

1. Démontrer que, sur [0 ; +∞[, l’équation : f (x)= 2 équivaut à l’équation :

ex

ex +1 = x

2. On appelle h la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

h(x)= ex

ex +1 .

a. Calculer h′(x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] et réaliser le tableau de variations de la fonction h.

b. En déduire que, pour tout réel x de [0 ; 1], h(x) appartient à [0 ; 1].

c. Calculer h′′(x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] ; étudier le sens de variations de h′.

d. En déduire que, pour tout réel x de [0 ; 1],

06 h′(x)6 1

4

3. On définit la suite (un )n∈N par :

{

u0 = 0 un+1 = h(un )

pour tout entier naturel n.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un appartient à l’intervalle [0 ; 1].

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

|un+1−α|6 1

4 |un α|

c. En déduire que, pour tout entier naturel n,

|un+1−α|6 (

1

4

)n

puis que la suite (un )n∈N converge vers α.

d. Déterminer un entier p tel que up soit une valeur approchée à 10−6 près deα et, à l’aide de la calculatrice, proposer une approximation décimale de up à 10−6 près. Que peut-on en déduire pour α ?

Polynésie 27 juin 1998

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1998 \

Exercice 1 4 points Enseignement obligatoire

Unmeuble est composé de 10 tiroirs T1, T2, . . . , T10. Une personne place au hasard une boule dans un des tiroirs et une autre est chargée de trouver le tiroir contenant la boule à l’aide de la stratégie suivante : la personne ouvre le tiroir T1. Si la boule est dans le tiroir T1, la recherche est achevée, sinon la personne ouvre le tiroir T2, et ainsi de suite . . . en respectant l’ordre des numéros de tiroirs. On remarquera qu’avec cette stratégie, le tiroir T10 n’est jamais ouvert. Pour i entier compris entre 1 et 10 (16 i 6 10), on appelle Bi l’évènement « La boule se trouve dans le tiroir Ti ». On note X la variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont été ouverts afin de localiser la boule avec cette stratégie.

1. Donner l’ensemble des valeurs possibles de X .

2. a. Montrer que, pour i entier compris entre 1 et 8 (16 i 6 8), l’évènement (X = i ) est l’évènement Bi .

b. Justifier que l’évènement (X = 9) est la réunion des évènements B9 et B10.

c. Déterminer la loi de probabilité de X .

d. Calculer l’espérance mathématique de X .

Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure, les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.)

1. a. Résoudre l’équation

(E) : z2−2z p 3+4= 0.

b. On considère les nombres complexes z1 = p 3+ i et z2 =

p 3− i et on dé-

signe par M et N les points d’affixes respectives z1 et z2. Déterminer le module et l’argument de z1 et z2 ; placer M et N sur la figure.

c. Déterminer les affixes des points Q et P images respectives deM et N par

la translation de vecteur −→ w =−2−→u . Placer P et Q sur la figure.

Montrer que MNPQ est un carré.

2. Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l’image de P par la rotation de

centreOet d’angle π

2 , S l’imagedeEpar l’homothétie de centreOet de rapport

p 3.

Placer ces points sur la figure.

Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].

3. On pose α= 2− p 3.

a. Montrer que 1+α2 = 4α et 1−α2 = 2α p 3.

b. Exprimer les affixes Z de −→ PR et Z ′ de

−→ PS en fonction de α.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

c. Montrer que |Z | = |Z ′| et que Z

Z ′ = ei

π 3 .

d. Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.

Exercice 2 5 points Enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.)

1. a. Résoudre l’équation (E) : z2−2z p 3+4= 0.

b. On considère les nombres complexes z1 = p 3 + i et z2 =

p 3 - i et on

désigne par M et N les points d’affixes respectives z1 et z2. Déterminer le module et l’argument de z1 et de z2 ; placer M et N sur la figure.

c. Déterminer les affixes des points Q et P images respectives deM et N par

la translation de vecteur −→ w = −2−→u . Placer P et Q sur la figure. Montrer

que MNPQ est un carré.

2. Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l’image de P par la rotation de

centre O et d’angle π

2 , S l’image de E par l’homothétie de centre O et de rap-

port p 3.

Placer ces points sur la figure.

Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].

3. On pose α= 2− p 3.

a. Montrer que 1+α2 = 4α et 1−α2 = 2α p 3.

b. Exprimer les affixes Z de −→ PR et Z ′ de

−→ PS en fonction de α.

c. Montrer que |Z | = |Z ′| et Z

Z ′ = ei

π 3 .

d. Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.

Problème 11 points Commun à tous les candidats

Partie A Étude d’une fonction auxiliaire

La fonction d est définie sur ]−1 ; +∞[ par :

d(x)= e x

x+1 .

1. Calculer la fonction dérivée d ′. En déduire les variations de d .

2. Déterminer les limites de d en −1 et en +∞. 3. Montrer que, pour tout x >− 1, on a : 0< d(x)< e.

Partie B Étude de la fonction f

Dans cette partie on s’intéresse à la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par :

f (x)= x+1−e x

x+1 .

On appelle (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, l’unité graphique étant 5 cm. On désigne par f ′ et f ′′ les dérivées première et seconde de f .

Antilles-Guyane 29 septembre 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

1. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x−e+1 est asymptote à la courbe (C ).

Préciser la position relative de (D) et (C ).

2. a. Pour x ∈]−1 ; +∞[, calculer f ′(x) et f ′′(x).

Vérifier que f ′′(x)= 2x+1 (x+1)4

e x

x+1 .

En déduire le sens de variations de f ′.

b. Dresser le tableau de variations de f ′.

(On admettra que lim x→−1

f ′ = lim x→+∞

f ′ = 1.)

3. Démontrer que l’équation f ′(x)= 0 admet sur ]−1 ; +∞[ deux solutions dont l’une est 0.

Dans la suite du problème, on notera α la solution non nulle. Donner une valeur approchée de α au centième près.

4. a. Étudier les variations de f .

b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c. Dresser le tableau de variations de f

Partie C Prolongement de la fonction f en −1

On considère la fonction g définie sur ]−1 ; +∞[ par : {

g (− 1) = 0 g (x) = f (x) pour tout x >− 1.

On appelle (C ′) la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B.

1. a. Montrer que l’on peut écrire

g (x)− g (−1) x− (− 1)

= 1− 1

x

( x

x+1 e

x x+1

)

.

b. Pour x ∈]−1 ; +∞[, déterminer la limite lorsque x tend vers -1 de x

x+1 puis de

x

x+1 e

x x+1 .

c. Endéduire que g est dérivable en - 1 et préciser sonnombredérivé g ′(− 1). 2. Construire (D) et (C ′). Préciser les tangentes à (C ′) aux points d’abscisses

− 1, α, 0.

Antilles-Guyane 30 septembre 1998

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S France septembre 1998 \

Exercice 1 4 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Il n’est pas demandé de faire de figure. Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2. On considère les quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives :

A

− 1 2 1

 B

1 − 6 − 1

 C

2 2 2

 I

0 1 −1

1. a. Calculer le produit vectoriel −−→ AB ∧

−−→ AC .

b. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois points A, B et C.

2. Soit (Q) le plan d’équation :

x+ y −3z+2= 0

et (Q′) le plan de repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

a. Pourquoi (Q) et (Q′) sont-ils sécants ?

b. Donner un point E et un vecteur directeur −→ u de la droite d’intersection

(∆) des plans (Q) et (Q′).

3. Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2.

4. On considère les points J et K de coordonnées respectives :

J

− 2 0 0

 K

1 0 1

Déterminer avec soin l’intersection de la sphère (S) et de la droite (JK).

Exercice II 5 points

1. On considère le polynôme P défini par :

P (z)= z3−6z2+12z−16.

a. Calculer P (4).

b. Résoudre dans C l’équation : P (z)= 0.

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

tel que : ‖~u‖ = ‖~v‖ = 2 cm. Soient A,B, C les points d’affixes respectives :

a = 4 b = 1+ i p 3 c = 1− i

p 3

a. Placer les points A, B, C sur une figure que l’on complètera tout au long de l’exercice.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

3. Soit K le point d’affixe k =− p 3+ i

On appelle F l’image de K par la rotation de centre O et d’angle de mesure π

3 et G l’image de K par la translation de vecteur

−−→ OB .

a. Quelles sont les affixes respectives de F et de G ?

b. Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires.

4. Soit H le quatrième sommet du parallélogramme COFH.

a. Montrer que le quadrilatère COFH est un carré.

b. Calculer l’affixe du point H.

c. Le triangle AGH est-il équilatéral ?

Problème 11 points

Partie A

1. Résoudre l’équation différentielle :

y ′′−4y ′+4y = 0.

2. Déterminer la solution ϕ de cette équation, définie sur R et qui vérifie les conditions :

ϕ(0)= 0 et ϕ′(0)=−e

Partie B

1. On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)=−xe2x+1.

a. Quel est, suivant les valeurs de x, le signe de f (x) ?

b. Étudier le sens de variation de de f .

c. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞. d. Dresser le tableau de variations de f .

e. On appelle (C ) la représentation graphique de f dans un repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique : 4 cm).

Quelle est la tangente à (C ) au point O ?

Écrire une équation de la tangente T à (C ) au point d’abscisse (−1).

f. On appelle (Γ) la représentation graphique dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

de

la fonction g définie sur R par :

g (x)= ex .

Quelle est la tangente à (Γ) au point d’abscisse (−1) ?

2. On appelle h la fonction définie sur R par :

h(x)= 1+exex .

a. Étudier le sens de variation de h.

En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x.

Métropole 32 septembre 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Étudier la position de (C ) par rapport à (Γ).

c. Tracer, sur le même graphique, les courbes T, (C ) et (Γ).

3. Soitm un réel quelconque et M le point de la courbe (Γ) d’abscissem.

a. Écrire une équation de la tangente D à (Γ) enM .

b. La tangente D coupe les axes de coordonnées en A et B .

Calculer, en fonction de m, les coordonnées du milieu J du segment [AB].

c. Prouver que J appartient à (C ).

d. Tracer (D) et J pourm = 0.

Partie C

1. Soit x un réel quelconque. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’in- tégrale :

I (x)= ∫x

0 te2t dt .

2. Soit x un réel négatif.

Calculer l’aire A (x), exprimée en cm2, de l’ensemble des points N du plan dont les coordonnées (u, v) vérifient :

{

x 6 u 6 0 0 6 v 6 f (x)

3. Calculer A (− 1). 4. A (x) admet-elle une limite quand x tend vers moins l’infini ? Si oui laquelle ?

Métropole 33 septembre 1998

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 1998 \

Durée : 4 heures

Exercice 1 5 points

Le plan (P) est muni du repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique :

2 cm). À tout point M du plan (P) est associé le nombre complexe z, affixe du point M .

1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes

z1 =−1, z2 = 1− i

p 3

2 , z3 =−1− i

p 3.

b. Déterminer le module et un argument de chacun des cubes z31 , z 3 2 , z

3 3

des complexes ci-dessus, puis la partie réelle et la partie imaginaire de z31 , de z

3 2 et de z

3 3 .

2. a. Si z = x + iy = ρeiθ est un nombre complexe (avec , y et θ réels et ρ rel supérieur à zéro), déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z3

en fonction de x et y , puis le module et un argument de z3 en fonction de ρ et θ.

b. Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z caractérisé par : z3 est un nombre réel.

c. Déterminer et tracer l’ensemble (E′) des points M d’affixe z, caractérisé par : z3 est un nombre réel et 16 z3 6 8.

Exercice 2 5 points

Dans l’espace muni du repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, nous considérons

les points A de coordonnées (0 ; 6 ; 0), B de coordonnées (0 ; 0 ; 8), C de coordonnées (4 ; 0 ; 8).

1. a. Réaliser la figure comportant les points définis dans l’exercice (unité gra- phique : 1 cm).

b. Démontrer que :

• les droites (BC) et (BA) sont orthogonales ; • les droites (CO) et (OA) sont orthogonales ; • la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB).

c. Déterminer le volume, en cm3, du tétraèdre OABC.

d. Démontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une sphère dont vous déterminerez le centre et le rayon.

2. À tout réel k de l’intervalle ouvert ]0 ; 8[, est associé le point M(0 ; 0 ; k).

Le plan (π) qui contientM et est orthogonal la droite (OB) rencontre les droites (OC), (AC), (AB) respectivement en N , P, Q .

a. Déterminer la nature du quadrilatère (MNPQ).

b. La droite (PM) est-elle orthogonale à la droite (OB) ? Pour quelle valeur de k, la droite (MP ) est-elle orthogonale à la droite (AC) ?

c. Déterminer MP2 en fonction de k. Pour quelle valeur de k, la distance PM est-elle minimale ?

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Problème 10 points

L’objectif est d’étudier quelques propriétés de la fonction f définie sur l’intervalle [−1 ; +∞[ par :

f (x)= (1− x2)e−x .

Partie A Variations de f et tracé de la courbe (F)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−1 ; +∞[ par :

f (x)= (1− x2)e−x .

Dans le plan (P) muni du repre orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique : 2 cm) la

représentation graphique de la fonction f est note (F).

1. Déterminer la limite en +∞ de f : interpréter graphiquement ce résultat. 2. a. Déterminer, suivant les valeurs de x de l’intervalle [−1 ; +∞[, le signe de

x2−2x−1 et celui de f (x). b. Déterminer la fonction dérivée f ′ de f . En déduire le sens de variations

de f puis dresser son tableau de variations ; préciser les valeurs exactes duminimum et dumaximum.

3. Déterminer une équation de la tangente note (T) la courbe (F) au point A de (F) dont l’abscisse est 0.

4. a. Déterminer la valeur exacte et une valeur décimale approchée à 0,1 près de chacun des coefficients directeurs des tangentes à la courbe (F) en B(1 ; 0) et C(−1 ; 0).

b. Tracer les trois tangentes à la courbe (F) en A, B(1 ; 0) et C(−1 ; 0) et la courbe (F).

Partie B Intégrales et aires

Les surfaces S et S1(u) du plan (P), où u est un réel donné de l’intervalle [1 ; +∞[ sont définies par : S est l’ensemble des points M(x ; y) tels que : 06 x 6 1 et 06 y 6 f (x), S1(u) est l’ensemble des points M(x ; y) tels que 16 x6 u et f (x)6 y 6 0. Les aires respectives de ces surfaces sont notées A , A1(u). Leurs valeurs exactes seront exprimées en unités d’aire.

1. Justifier l’existence de l’intégrale ∫x

1 f (t)dt x est un réel positif.

En procédant à deux intégrations par parties successives, déterminer cette in- tégrale.

2. En déduire la valeur exacte de ∫0

1 f (t)dt .

En déduire la valeur exacte de l’aire A .

3. Déterminer, en fonction de u u > 1, l’aire A1(u) puis la limite, lorsque u tend vers +∞, de A1(u). Interpréter graphiquement ce résultat.

4. L’objectif est de déterminer le réel α supérieur ou égal à 1 pour lequel

A1(α)=A .

a. Démontrer que, sur l’intervalle [1 ; +∞[, l’équation A1(x)= A est équi- valente à : x = 2ln(1+ x).

Polynésie 35 septembre 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Étudier le sens de variations de la fonction h définie sur l’intervalle

[1 ; +∞[ par h(x)= x−2ln(1+ x). Démontrer que, sur l’intervalle [1 ; +∞[, l’équation x = 2ln(1+ x) admet exactement une solution et que celle-ci, note α, vérifie la condition 2 < α< 3.

c. Déterminer, en indiquant la méthode utilisée, un encadrement d’ampli- tude 10−3 de α.

Déterminer f (α) sous la forme d’une fonction rationnelle deα puis l’en- cadrement de f (α), que vous pouvez déduire du précédent, d’amplitude 2×10−4.

Polynésie 36 septembre 1998

[ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \ octobre 1998

EXERCICE 1 4 points

Un joueur dispose d’une urne contenant 3 boules rouges, 4 boules blanches et n boules vertes (06 n6 10). Les boules sont indiscernables au toucher.

1. Le joueur tire au hasard une boule de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

a. R : « la boule tirée est rouge » ;

b. B : « la boule tirée est blanche » ;

c. V : « la boule tirée est verte ».

2. Le joueur décide de jouer une partie. Celle-ci se déroule de la manière indi- quée ci-dessous.

Le joueur tire une boule de l’urne

• si elle est rouge, il gagne 16 F : • si elle est blanche, il perd 12 F ; • si elle est verte, il remet la boule dans l’urne, puis tire une boule de

l’urne ; – si celle boule est rouge, il gagne 8 F ; – si cette boule est blanche, il perd 2 F ; – si cette boule est verte, il ne perd rien ni ne gagne rien.

Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants.

Au début de la partie, le joueur possède 12 F. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme que le joueur possède à l’issue de la partie (un tirage ou deux tirages selon le cas).

a. Déterminer les valeurs prises par X .

b. Déterminer la loi de probabilité de X .

c. Montrer que l’espérance mathématique de X est 12+16 n

(n+7)2 .

3. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par f (x)= x

(x+7)2 .

Étudier les variations de f .

4. En déduire la valeur de n pour laquelle l’espérance mathématique X estmaxi- male. Calculer celle valeur maximale (on donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible).

EXERCICE 2 5 points

On considère les intégrales I = ∫π

0 cos4 x dx et J =

π

0 sin4 x dx.

1. a. Montrer que l’intégrale I peut s’écrire :

I= ∫π

0 cosx

(

cosx−cosx sin2 x )

dx.

b. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que

I= ∫π

0 sin2 x dx

1

3 J.

c. Montrer de même que J = ∫π

0 cos2 x dx

1

3 I.

2. a. Montrer que I + J = 3π

4 .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Montrer que J− I= 0 c. En déduire les intégrales I et J.

PROBLÈME 11 points

Partie A : Étude d’une fonction

Soit h la fonction définie sur R par :

h(x)= (

3ex x−4 )

e3x .

Il semblerait, d’après la représentation graphique de h tracée par ordinateur et don- née ci-après, que l’équation h(x)= 0 admette une seule solution dans R. On se pro- pose, dans cette partie, d’étudier la fonction h et d’examiner si le tracé fourni par l’ordinateur donne une information fiable.

1. Déterminer la limite de h en −∞ (on pourra poser X = 3x). 2. Déterminer la limite de h en +∞ ;

(on observera que 3ex x−4= (

3− x

ex

4

ex

)

ex ).

3. On note h′ la dérivée de h. Montrer que h′(x)= (12ex −3x−13)e3x . 4. Étude d’une fonction auxiliaire. Soit k la fonction définie sur R par

k(x)= 12ex −3x−13. a. On note k ′ la fonction dérivée de la fonction k. Étudier le signe de k ′ sur

R.

b. Déterminer la limite de k en +∞. c. Déterminer la limite de k en −∞. d. Dresser le tableau de variations de la fonction k.

5. Étude des variations de la fonction h.

a. Montrer qu’il existe un nombre réel négatif α et un seul tel que k(α)= 0 et vérifier que −4,3<α<−4,2. On admet que l’on peut établir qu’il existe un nombre réel positif β et un seul tel que k(β)= 0 et que 0,1<β< 0,2.

b. En déduire le signe de k sur R puis le sens de variations de la fonction h.

c. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique :

1 cm représente 0,1 sur l’axe des abscisses et 1 cm représente 10 sur l’axe des ordonnées). Représenter graphiquement la fonction h sur l’in- tervalle [−5 ; −3,9].

6. Montrer que l’équation h(x)= 0 admet une solution unique b dans l’intervalle ]−∞ ; 0[. Donner un encadrement de b à 10−1 près.

Partie B : Approximation de l’une des solutions de l’équation h(x) = 0

On admet qu’il existe un nombre réel a et un seul dans l’intervalle I = [0 ; 1] tel que h(a)= 0.

1. Justifier que, dans l’intervalle I, l’équationh(x) = 0 est équivalente à l’équation

3ex x−4= 0 puis à l’équation x = ln (

x+4 3

)

.

2. On considère la fonction ϕ définie sur l’intervalle I par ϕ(x)= ln (

x+4 3

)

.

a. Montrer que, pour tout x ∈ I, ϕ(x)∈ I.

Sportifs de haut-niveau 38 octobre 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Montrer que, pour tout x ∈ I, ∣

ϕ′(x) ∣

∣6 1

4 .

c. Calculer ϕ(a).

3. On considère la suite (un )n∈N d’éléments de I définie pour tout n ∈N par u0 = 0 et un+1 =ϕ (un ).

a. Montrer que, pour tout n ∈N, |un+1−a|6 1

4 |un a|.

b. Montrer que, pour tout n ∈N, |un a|6 (

1

4

)n

.

c. En déduire que la suite (un )n∈N converge. Préciser sa limite.

d. Déterminer un nombre entier naturel p tel que up soit une valeur appro- chée de a à 10−4 près.

Donner une valeur approchée de up à 10−4.

1

-1

-2

1-1-2-3-4-5 x

y

O −→ ı

−→

Sportifs de haut-niveau 39 octobre 1998

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 1998 \

Exercice 1 4 points

Leplan est rapporté au repère (

O, −→ u ,

−→ v )

orthonormal direct ; unité graphique 2 cen-

timètres. On complétera la figure au fur et à mesure de l’exercice. Soit I le point d’affixe 2i. On nomme f la transformation qui, à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ tel que z ′ =iz.

1. a. Préciser la nature de f ainsi que ses éléments caractéristiques.

b. Déterminer l’affixe du point A′, image par f du point A d’affixe 1 + p 2 +

i.

c. Montrer que les points A, I et A′ sont alignés.

2. a. Montrer que l’ensemble (Γ) des pointsM du plan tels queM , I etM ′ sont alignés, est le cercle de centreΩ d’affixe 1+ i et de rayon

p 2.

b. Vérifier que le point A appartient à (Γ).

c. Déterminer l’ensemble (Γ′) décrit par le point M ′ lorsque le point M dé- crit (Γ).

3. Soit B le point d’affixe 2+2i et B′ l’image de B par f .

a. Démontrer que les droites (AB) et (A′B′) sont perpendiculaires.

b. Soit C le point d’intersection des droites (AB) et (A′B′). Déterminer la na- ture du quadrilatère OACA′.

Exercice 2 5 points

Dans le plan (P), on considère le triangle ABC isocèle en A, de hauteur [AH] tel que AH = BC = 4. On prendra le centimètre pour unité.

1. En justifiant la construction, placer le pointG, barycentre du systèmedepoints pondérés {(A ; 2);(B ; 1);(C ; 1)}.

2. On désigne le point M un point quelconque de (P).

a. Montrer que le vecteur −→ V = 2−−→MA −−−→MB −−−→MC est un vecteur dont la

norme est 8.

b. Déterminer et construire l’ensemble E1 des points M du plan tels que

∥2 −−→ MA −−−→MB −−−→MC

∥= ∥

−→ V

3. On considère le système de points pondérés {(A ; 2) ; (B ; n) ; (C ; n)} où n est un entier naturel fixé.

a. Montrer que le barycentre Gn de ce système de points pondérés existe. Placer G0, G1, G2.

b. Montrer que le point Gn appartient au segment [AH].

c. Calculer la distance AGn en fonction de n et déterminer la limite de AGn quand n tend vers +∞. Préciser la position limite de Gn quand n tend vers +∞.

d. Soit En l’ensemble des points M du plan tels que ∥

∥2 −−→ MA +n−−→MB +n−−→MC

∥=n

−→ V

∥ .

Montrer que En est un cercle qui passe par le point A.

En préciser le centre et le rayon, noté Rn .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

e. Construire E2.

Exercice 2 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ )

. L’unité graphique est 4 cm. On considère les points A(1 ; 0), C(0 ; 1), D(0 ; −1) et le cercle (Γ) de centre O et de rayon 1. SoitM un point du cercle (Γ), d’ordonnée positive ou nulle, et distinct de C. La droite (DM) rencontre l’axe des abscisses au point I. Le point N est le point d’intersection de la droite (OM) et de la parallèle à la droite (CD) passant par I.

1. Réaliser la figure.

2. On note t une mesure de l’angle orienté (−→ ı ,

−−−→ OM

)

.

On se propose de déterminer l’ensemble (F) décrit par le point N lorsque t

décrit l’intervalle [0 ; π] privé de π

2 .

a. Déterminer les coordonnées deM en fonction de t .

b. Montrer que les coordonnées de I sont

(

cos t

1+ sin t ; 0

)

puis que les coor-

données x(t) et y(t) de N sont :

x(t)= cos t

1+ sin t y(t)=

sin t

1+ sin t 3. a. Comparer d’une part x(t) et x(πt), puis d’autre part y(t) et y(πt).

En déduire une propriété géométrique de l’ensemble (F).

b. Faire l’étude conjointe des variations des fonctions t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sur

[

0 ; π

2

]

.

c. Déterminer les limites de x(t) et y(t) quand t tend vers π

2 .

4. a. Calculer, en fonction de t , la distance ON puis la distance deN à la droite d’équation y = 1.

b. En déduire que (F) est inclus dans une conique dont on précisera la na- ture et les éléments.

c. Tracer l’ensemble (F).

Problème 11 points

Partie A Résolution d’une équation différentielle (Hors programme depuis 1998.)

1. Résoudre dans R l’équation différentielle (E0) y ′′−2y ′+ y = 0. 2. Soit l’équation différentielle (E) : y ′′−2y ′+ y = x2−4x+2.

Vérifier que le polynôme h défini sur R par h(x)= x2 est une solution particu- lière de (E), c’est-à-dire que, pour tout x deR, h′′(x)−2h′(x)+h(x)= x2−4x+2.

3. a. Montrer que si f est solution de (E), c’est-à-dire, si pour tout x réel,

f ′′(x)−2 f ′(x)+ f (x)= x2−4x+2, alors la fonction g , telle que g = f h, est solution de (E0).

b. Réciproquement, montrer que si g est solution de (E0) alors la fonction f , telle que f = g +h, est solution de (E).

c. En déduire la forme générale des solutions de (E) sur R.

4. En déduire une solution ϕ de (E) satisfaisant à ϕ(1)= 1 et ϕ′(1)= 0.

Amérique du Sud 41 novembre 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Partie B Étude de la fonction f et tracé de sa courbe représentative

On considère la fonction définie sur R, par

f (x)= x2−2(x−1)e(x−1).

Onnote (C ) sa courbe représentative dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

; (unité

graphique : 2 cm).

1. a. Déterminer la limite de f en + ∞. On pourra montrer que

f (x)= e (

x2

ex − 2x

e + 2

e

)

.

b. Déterminer la limite de f en - ∞. c. Calculer f ′(x) pour tout x réel et en déduire le sens de variation de f sur

R.

2. a. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur R une solution unique. On note α cette solution.

b. Montrer que α appartient à l’intervalle ]1,7 ; 1,8[.

3. On appelle (Γ) la parabole d’équation y = x2. a. Étudier la position relative de (C ) et de (Γ).

b. Calculer la limite de f (x)− x2 quand x tend vers −∞. 4. Tracer sur une feuille de papier millimétré, la courbe (C ) et la parabole (Γ).

Partie C Calculs d’aires

Soit a un nombre réel strictement inférieur à 1. On appelle Da le domaine du plan limité par les courbes (C ) et (Γ) et les droites d’équations x = a et x = 1. On note A (a) l’aire du domaine Da , exprimée en unités d’aire.

1. Montrer que A (a)= 2(a−1)e(a−1)−2e(a−1)+2. (On pourra utiliser une intégration par parties).

2. Calculer l’aire A (0) du domaine D.

3. Déterminer la limite de A (a) quand a tend vers −∞.

Partie D Calcul de probabilités

Sur la feuille de papier millimétré de la partie B, on place les points I(1 ; 0), J(0 ; 1) et K(1 ; 1). On utilise cette feuille comme cible. On admet que, pour chaque essai :

• la probabilité d’atteindre un point du carré OIKJ est égale à 1

2 . ;

• sachant qu’un point du carré est atteint, la probabilité que ce point appartienne à D0 est égale à A(0).

1. Pour un essai, montrer que la probabilité d’atteindre un point du domaine D0

est égale à 1− 2

e .

2. On effectue n essais (n entier naturel non nul), tous indépendants les uns des autres.

a. Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn d’atteindre au moins une fois un point du domaine D0 au cours de ces n essais.

b. Déterminer le nombre minimal n d’essais pour que cette probabilité pn soit supérieure ou égale à 0,99.

Amérique du Sud 42 novembre 1998

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie décembre 1998 \

Exercice Commun à tous les candidats

Dans une foire, une publicité annonce : « Un billet sur deux est gagnant. Achetez deux billets ». Dans cet exercice, on suppose qu’effectivement, sur le nombre de billets en vente, exactement un billet sur deux est gagnant. Xavier est toujours le premier acheteur de la journée.

Partie A

Il est mis en vente chaque jour cent billets.

1. Xavier acheté deux billets. Calculer la probabilité qu’il achète au moins un billet gagnant.

Le résultat sera donné sous forme d’une fraction irréductible, puis à 10−3 près.

2. Xavier revient chaque jour, pendant trois tours, acheter deux billets Quelle est la probabilité qu’il achète aumoins un billet gagnant sur les trois jours ?

Le résultat sera donné à 10−3 près.

3. Un autre tour, Xavier achète six billets Quelle est la probabilité qu’il achète au moins un billet gagnant Le resultat sera donné à 10−3 près.

Partie B

Soit n un entier naturel non nul. Désormais, il est mis en vente 2n billets. Xavier achète deux billets.

1. Démontrer que la probabilité pn , qu’il achète au moins un billet gagnant est

pn = 2n−1

2(2n−1) .

2. a. Étudier les variations de la suite (

pn )

n∈N.

b. Déterminer la limite de pn , quand n tend vers +∞.

Exercice (spécialité)

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité

graphique : 5 cm). On considère les points A d’affixe

p 2, et B d’affixe i. Soit C te point tel que OACB soit

un rectangle. On note I le milieu du segment [OA], J le milieu du segment [BC] et K le milieu du segment [AI]. Placer ces points sur une figure.

1. On considère la transformation s de P dans P qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′, tel que

z ′ =−i p 2

2 z+

p 2

2 + i.

a. Démontrer que s est une similitude dont le centreΩ a pour affixe 2 p 2

3 +

1

3 i et dont on déterminera le rapport k et une mesure θ de l’angle.

b. Determiner les images par s des points O, A, B, C.

2. a. Calculer une mesure de l’angle (−−→ ΩB ,

−−→ ΩB

)

.

En déduire que les points A, B etΩ sont alignés.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Démontrer de même que les points I, C,Ω sont alignés.

c. En déduire une construction deΩ. PlacerΩ sur la figure.

3. a. Montrer que Ω appartient aux cercles Γ1 et Γ2 de diamètres respectifs [BC] et [AI].

b. Démontrer que −→ JΩ et

−→ JK sont colinéaires.

c. Demontrer que la droite (ΩO) est la tangente commune à Γ1 et Γ2.

Représenter les cercles Γ1, Γ2 et la droite (ΩO) sur la figure.

Problème

Le plan est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité : 3 cm). On considère la

fonction numérique f définie sur R par

f (x)= ln (

x2−2x+2 )

.

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie A

1. Justifier que, pour tout x réel, x2−2x+2> 0. 2. Déterminer la fonction dérivée f ′ de f et étudier le sens de variations de f sur

R.

3. Déterminer les limites de f en +∞, et en −∞. 4. Représenter (C ) et la droite (∆) d’équation y = x ; on montrera que la droite

d’équation x = 1 est un axe de symétrie de (C ) et on placera les points d’abs- cisses 0 et 2 ainsi que les tangentes à la courbe en ces points.

Partie B

On s’intéresse à l’intersection de (C ) et de (∆). On pose, pour tout réel x, ϕ(x)= f (x)− x.

1. Déterminer la fonction dérivée ϕ′ de ϕ. En déduire que ϕ est strictement dé- croissante sur R

2. a. Determiner la limite de ϕ en −∞. b. Montrer que, pour tout réel x strictement positif,

ϕ(x)= x

2lnx

x + ln

(

1− 2

x +

2

x2

)

x −1

.

En déduire la limite de ϕ en +∞. 3. Montrer que la droite (∆) coupe la courbe (C ) en un point et un seul.

On désigne par α l’abscisse de ce point.

Montrer que 0,3<α< 0,4.

Nouvelle-Calédonie 44 décembre 1998

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