Exercitation de modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercitation de modélisation mathématique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: considérations géométriques, vérification de l’égalité.
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[ Baccalauréat C Centres étrangers juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Commun à tous les candidats

Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue n tirages successifs (n entier supérieur ou égal à 1) d’une boule en res- pectant la règle suivante : - si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ; - si elle est blanche, on ne la remet pas. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A

Dans cette partie n = 3. On donnera les résultats sous forme de fractions irréduc- tibles. Si k est un entier compris entre 1 et 3, on note Ek l’évènement « seule la k-ième boule tirée est blanche ». Par exemple, E1 est l’évènement « seule la première boule tirée est blanche ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement E1 est p(E1)= 5

36 .

2. Calculer les probabilités des évènements E2 et E3. En déduire la probabilité qu’on ait tiré une seule boule blanche à l’issue des trois tirages.

3. Sachant que l’on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée en dernier ?

Partie B

On effectue maintenant n tirages.

1. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de tirer au moins une boule blanche en n tirages.

2. Quelles valeurs faut-il donner à n pour que pn > 0,99 ?

Exercice 2 4 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. L’unité gra-

phique est de 3 cm. On considère les points B, C, D, E définissant le carré de sens direct BCDE d’affixes respectives :

b = 1− i ; c =− 1− i ; ;d =− 1−3i ; e = 1−3i

1. Calculer |b|, |c|, |d | et |e|. 2. Soit Γ le cercle de centre O passant par B. Déterminer une équation du cercle

Γ. On considère Q un point de Γ distinct de B et C. L’affixe de Q est notée q = x + iy (avec x et y réels).

3. Soient F et G les points du plan tels que QBFG soit un carré de sens direct,

c’est-à-dire tels que (−→ QB,

−−→ QG

)

= + π

2 . On pose Z =

g q b q

g est l’affixe du

point G. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z . En dé- duire Z .

4. Prouver que g = (1+ x + y)+ i(1− x + y). En déduire |g | en fonction de x et y . 5. En utilisant la question 2), exprimer |g | en fonction de x et y . 6. À l’aide de considérations géométriques, prouver que : I f | = |g |, f étant l’af-

fixe du point F .

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

7. Pour quelles valeurs de x et de y les points E, D,G et F sont-ils sur un cercle de centre O ? Préciser le rayon de ce cercle. En déduire alors la nature du triangle QBC.

Exercice 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : où on construit un triangle équilatéral.

On considère la figure suivante où (∆) et (D) sont deux droites parallèles et A un point situé entre les deux droites et n’appartenant à aucune d’entre elles.

(D)

(∆)

A

On sepropose de construire un triangle équilatéral ABC tel queB etC appartiennent respectivement aux droites (D) et (∆).

Dans toute la suite, on note R la rotation de centre A et d’angle + π

3 .

1. On considère la droite (D ′) image de (D) par la rotation R. Montrer que (D ′) coupe (∆). On note C le point d’intersection de (D’) de (∆).

2. Soit B = R− 1(C). Montrer que le triangle ABC répond au problème posé. 3. Construire la droite (D ′) et placer les points B et C.

Partie B : où on calcule l’aire de ce triangle équilatétal. Soit O le projeté orthogonal de A sur la droite (D). Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O ,~u, ~v) où ~u est un vecteur directeur de (D) et~v est choisi de sorte que le point A ait pour affixe ai (a réel positif). On noteα la distance du point A à la droite (∆). Soit B un point de (D) d’affixe zB, (zB est réel). On appelle zC l’affixe du point C image de B par la rotation R.

1. Montrer que zC = 1

2

(

zB+a p 3 )

+ i

2

(

a + zB p 3 )

.

2. En déduire que le point C appartient à la droite (∆) si et seulement si

zB = 1 p 3 (a +2α).

Dans la suite, on prendra cette valeur pour zB.

3. Exprimer AB2 en fonction de a et de α.

En déduire que l’aire du triangle équilatéral ABC est S = p 3

3 (a2++α2).

Problème 11 points

Le but du problème est l’étude d’une fonction gk , où k est un réel fixe qui vérifie : 0< k < e. Dans la partie A onmet en évidence certaines propriétés d’une fonction f qui seront utilisées dans la partie B.

Partie A

Centres étrangers 2 juin 1998

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur R par :

f (x)= (2− x)ex k.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞. 2. Calculer f ′(x) . En déduire le tableau de variation de f . Calculer f (1)

3. a. Établir que l’équation f (x) = 0 a deux solutions, une notée αk apparte- nant à l’intervalle ]− ∞ ; 1[ et une autre notée βk appartenant à l’inter- valle ]1 ; +∞[.

b. Montrer que eαk kαk = (eαk k) (αk −1). On démontrerait de même que βk vérifie l’égalité

eβk kβk = (

eβk k )

(βk −1). 4. Préciser le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

1. Soit u la fonction de la variable réelle x définie sur R par : u(x)= ex kx. a. Étudier le sens de variation de u.

b. On rappelle que 0< k < e. Justifier la propriété suivante

pour tout réel x, ex kx > 0.

2. Soit gk la fonction définie sur R par : gk (x) = ex k ex kx

. On note Ck la courbe

représentative de la fonction gk dans le plan rappporté à un repère orthogo- nal.

a. Déterminer la limite de gk en −∞ et en +∞.

b. Prouver que : g k (x)=

k f (x)

(ex kx)2 .

c. En déduire le tableau de variation de gk . Calculer gk (1).

3. On nomme Mk et Nk les points de la courbe Ck d’abscisses respectives αk et βk .

a. En utilisant la question 3)b) (partie A), montrer que gk (αk )= 1

αk −1 .

b. Donner de même gk (βk ).

c. Déduire de la question précédente que lorsque k varie les points Mk et Nk sont sur une courbe fixe H dont on donnera une équation.

4. Représentations graphiques pour des valeurs particulières de k :

a. Déterminer la position relative des courbes C1 et C2.

b. Prouver que α2 = 0. c. Enprenant comme unité 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des

ordonnées, construire les courbes C1, C2 et H sur le même graphique.

On prendra α1 =−1,1 ; β1 = 1,8 ; β2 = 1,6.

Centres étrangers 3 juin 1998

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