Exercitation de modélisation mathématique 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (41.4 KB)
3 pages
139Numéro de visites
Description
Exercitation de modélisation mathématique 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer le nombre complexe, Étudier le sens de variation de g, En déduire le sens de variation de la fonction f.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Indeavril98.dvi

[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. On dispose d’une urneU1 contenant trois boules rouges et sept boules noires.

On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considère que tous les tirages sont équiprobables.

a. Quelle est la probabilité p1 que les deux boules tirées soient rouges ?

b. Quelle est la probabilité p2 que les deux boules tirées soient noires ?

c. Quelle est la probabilité p3 que les deux boules tirées soient de même couleur ?

d. Quelle est la probabilité p4 que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?

2. On dispose aussi d’une deuxième urne U2 contenant quatre boules rouges et six boules noires.

On tire maintenant deux boules de l’urne U1 et une boule de l’urne U2 ; on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On considère les évènements suivants :

R : « Les trois boules tirées sont rouges »

D : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »

B : la boule tirée dans l’urne U2 est rouge ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement R.

b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?

c. Calculer la probabilité conditionnelle pD(B) de l’évènement B sachant que l’évènement D est réalisé.

Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire

On considère le polynômeP(z)= z4+17z2−28z+260, où z est un nombre complexe.

1. Déterminer deux nombres réels a et b tels que :

P(z)= (

z2+az+b)(z2+4z+20 )

.

2. Résoudre dans C l’équation P(z)= 0.

3. Placer dans un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, les images M, N, P et

Q des nombres complexes respectifs m = −2+ 4i, n = −2− 4i, p = 2+ 3i et q = 2−3i.

4. a. Déterminer le nombre complexe z vérifiant zp

zm = i. Placer son image

K.

b. En déduire que le triangle MPK est isocèle rectangle en K.

4. a. Déterminer par le calcul l’affixe du point L, quatrième sommet du carré MKPL.

b. Déterminer l’abscisse du point d’intersection R de la droite (KL) et de l’axe des abscisses.

c. Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R.

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

Problème 11 points

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= ex −1

xex +1

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

; unité graphique : 4 cm.

Partie A

étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

g (x)= x+2−ex .

1. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[ et déterminer la limite de g en +∞.

2. a. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution et une seule dans [0 ; +∞[.

On note α cette solution.

a. Prouver que 1,14<α< 1,15.

2. En déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

Étude de la fonction f et tracé de la courbe C

1. a. Montrer que, pour tout x appartenant à [0 ; +∞[,

f ′(x)= exg (x)

(xex +1)2 .

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +∞[.

2. a. Montrer que pour tout réel positif x,

f (x)= 1−e−x

x+e−x

b. En déduire la limite de f en +∞. Interpréter graphiquement le résultat trouvé.

3. a. Établir que f (α)= 1

α+1 .

b. En utilisant l’encadrement de α établi dans la question A.2., donner un encadrement de f (α) d’amplitude 10−2.

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbeC au point d’abscisse 0.

5. a. Établir que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,

f (x)− x = (x+1)u(x)

xex +1 avecu(x)= ex xex −1.

b. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle [0 ; +∞[. En déduire le signe de u(x).

c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rap- port à la droite (T).

6. Tracer C et (T).

Pondichéry 2 avril 1998

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

Partie C

Calcul d’aire et étude d’une suite

1. Déterminer une primitive F de f sur [0 ; +∞[ ; on pourra utiliser l’expression de f (x) établie dans la question B. 2.

2. On note D le domaine délimité par la courbe C , la tangente (T) et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Calculer, en cm2, l’aire A du domaine D.

Donner une valeur décimale aumm2 près de l’aire A .

3. Pour tout entier naturel n, on pose

vn =

n+1

n f (x)dx

a. Calculer v0, v1 et v2.

On donnera des valeurs décimales approchées à 10−2 près de v0, v1 et v2.

b. Interpréter graphiquement vn .

c. Montrer que, pour tout n> 2,

f (n+1)6 ∫n+1

n f (x)dx 6 f (n)

En déduire la monotonie de la suite (vn) à partir de n = 1.

d. Déterminer la limite de la suite (vn).

Pondichéry 3 avril 1998

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome