Exercitation de modélisation mathématique 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercitation de modélisation mathématique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la probabilité de l’évènement A1, l’espace muni d’un repère orthonormal direct, la mesure en radians de l’angle.
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[ Baccalauréat C La Réunion juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Les réponses seront données sous forme de fractions.

Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l’on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se pré- sentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le pre- mier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième. On note A1 l’évènement : « les deux sujets obtenus par le premier candidat pro- viennent du même examinateur » et A2 l’évènement « les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent dumême examinateur ». On note A l’évènement contraire de l’évènement A.

1. Montrer que la probabilité de l’évènement A1 est égale à 1

19 .

2. a. Calculer directement la probabilité conditionnelle p (A2/A1) de l’évène- ment A2 sachant que A1 est réalisé.

b. Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun

deux sujets provenant d’un même examinateur est égale à 1

323 .

3. a. Calculer la probabilité p (

A2/A1 )

.

b. En remarquant que A2 = (A2∩ A1)∪ (

A2∩ A1

)

, calculer la probabilité

p (A2) puis en déduire que p (A2∪ A1)= 33

323 .

4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi cha- cun deux sujets provenant d’un même examinateur. La variable aléatoire X prend donc les valeurs 0, 1 ou 2.

a. Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement obligatoire

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

, on donne A, B et

C de coordonnées respectives (2 ; 0 ; 1), (3 ; −2 ; 0) et (2 ; 8 ; −4). Aucune figure n’est demandée.

1. Un point M étant de coordonnées (x ; y ; z), exprimer en fonction de x, y et z

les coordonnées du produit vectoriel −−→ AM

−−→ BM .

2. Résoudre le système :

x+ y −2z = −4 −xy z = −11 2x+ y z = 8

On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie.

3. Montrer qu’il existe un unique point N vérifiant −−→ AN

−−→ BN =

−−→ CN et donner les

coordonnées du point N .

4. On rappelle que le volume d’un tétraèdre s’obtient par la formule V = 1

3 B×h

où B représente l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

a. Le point N étant défini à la question précédente, montrer que le volume

du tétraèdre ABCN est égal à 1

6 CN2.

b. En utilisant les résultats du 1., et en prenant M = C, calculer l’aire du triangle ABC.

c. Utiliser les résultats précédents pour calculer la distance du point N au plan (ABC).

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : le

cm), on trace le cercle (C ) de diamètre [AO] oùA est le point de coordonnées (−6 ; 0) ; on appelle Ω le centre de (C ). Si P est un point de (C ), on note K le projeté orthogonal de P sur la droite (AO) et M

le point défini par −−→ KM =

−→ AP .

Soit t une mesure en radians de l’angle (

−−→ ΩO ,

−−→ ΩP

)

.

On veut déterminer l’ensemble (E ) des points M de paramètre t obtenu lorsque P décrit (C ).

1. Sur une figure qui sera complétée à la question 5, représenter (C), placer un point P et les points K et M correspondants.

2. a. Exprimer en fonction de t les coordonnées du point P puis celles du point M.

b. En déduire une représentation paramétrique de (E ).

c. SoitM′ le point de (E ) de paramètreπt . Par quelle transformation peut- on obtenir le point M′ à partir du point M de paramètre t ?

3. Soit N le point (E ) de paramètre t + π

2 . Montrer que le vecteur

(

−−→ ON

)

est un

vecteur directeur de la tangente à (E ) au point M de paramètre t .

4. Dessin de (E ) :

a. Dresser le tableau des variations conjointes des coordonnées de M pour

t appartenant à [

0 ; π

2

]

.

b. Construire les points M1 M2 et M3 obtenus pour les valeurs de t sui-

vantes : π

6 , π

4 , π

3 et utiliser le résultat des questions 3 et 4 et pour construire

trois autres points de (E ) ainsi que les tangentes à (E ) en M1, M2 et M3.

c. Achever le dessin de (E ).

N. B. La question 5. a. a été transformée (elle demandait d’indiquer la nature de (E ) et de placer les sommets de (E )) afin de tenir compte des modifica- tions de programme. Par ailleurs, cet exercice peut être traité désormais dans le cadre de l’enseignement obligatoire.

PROBLÈME 11 POINTS

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= ex x2

dont la courbe représentative C f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, est don-

née sur le graphique ci-dessous à compléter et à rendre avec la copie.

La Réunion 2 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

1

1

O x

y

C f

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x)= f (x)

x =

ex

x x

et on note Cg sa courbe représentative dans le même repère.

Partie A : Remarques préliminaires concernant la fonction f

1. Sans chercher à déterminer son équation, tracer la tangente à C f passant par O. On notera A son point de contact avec C f . Évaluer graphiquement le coef- ficient directeur de cette tangente en expliquant le procédé utilisé.

2. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I = ∫2

1 f (x) dx, puis en donner une va-

leur approchée à 10−2 près.

3. En déduire une interprétation graphique du nombre réel : e2−e− 7

3 .

Partie B : Étude de la fonctiong

1. Étudier les limites de g en+∞ et en 0 et justifier queCg admet une asymptote.

2. a. Calculer la dérivée g ′(x) et montrer qu’elle est du signe de (x−1)ex x2

sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Soit u la fonction qui à tout x de l’intervalle [0 ; +∞[ associe

u(x) = (x − 1)ex x2. Étudier le sens de variation de u sur l’intervalle [0 ; +∞[.

c. Déterminer le signe de u(x) sur l’intervalle [0 ; 1[.

d. Montrer que l’équation u(x)= 0 admet une solution unique a sur l’inter- valle [1 ; 2].

Endéduire, suivant les valeurs de x, le signedeu(x) sur l’intervalle [0 ; +∞[.

e. En déduire le signe de g ′(x) et dresser la tableau de variation de g .

Partie C : Construction de Cg

1. On se propose de construire le point S(a ; g (a)) où a est le réel déterminé dans la question B. 2. d.

La Réunion 3 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

a. Montrer que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, g ′(x)= 0 équivaut à f ′(x)= f (x)

x

et que par conséquent f ′(a)= f (a)

a .

b. En utilisant ce résultat, établir que a est l’abscisse du point A défini dans la première partie.

c. Justifier que l’ordonnée de S est f ′(a) et placer S sur le dessin.

2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de C f et Cg .

3. Construire la courbe Cg .

Partie D : Étude d’une primitive de g et calcul d’une intégrale

SoitG la primitive de g sur l’intervalle [1 ; 2] qui s’annule pour x = 1 (on ne cherchera pas à calculer cette primitive).

1. Déterminer le sens de variation deG sur [1 ; 2].

2. Donner une interprétation géométrique du nombre G(2). Dans la suite, on prendra 1,55 comme valeur approchée deG(2) à 10−2 près.

3. On considère l’intégrale J = ∫2

1 G(x)dx.

a. Justifier que l’intégrale I calculée dans la première partie peut s’écrire

I =

∫2

1 xg (x)dx.

b. En utilisant une intégration par parties, établir que I = 2G(2)− J et en déduire une valeur approchée de J , à 10−2 près.

La Réunion 4 juin 1998

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