Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier les variations de f, Tracer la courbe C, Préciser les limites de g.
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[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ mars 1996

EXERCICE 1 points

On note P le plan complexe et P ⋆ ce plan privé du point A d’affixe 3− i. On note f l’application de P ⋆ dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par :

z ′ = 2iz−4+2i

z−3+ i .

1. Calculer l’affixe du point P′ image par f du point P d’affixe 1+ i.

2. Calculer l’affixe du point Q dont l’image est le point Q′ d’affixe 1+ i.

3. Déterminer et représenter les ensembles de points M d’affixe z tels que :

a. z ′ soit réel

b. z ′ soit imaginaire pur

c. z ′ soit de module 2

EXERCICE 2 points

Soit ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AC], J le milieu de [BD]. Soit K le point tel

que −−→ KA =−2

−−→ KB , L le point tel que

−→ LC =−2

−−→ LD , et M le milieu de [LK].

Le but du problème est de montrer que M, I, J sont alignés et de donner la position deM sur la droite (IJ).

1. Justifier l’existence du barycentre G du système :

(A,1), (B, 2),(C, 1), (D, 2).

En regroupant les points de différentes façons, montrer que G appartient aux deux droites (KL) et (IJ).

2. Montrer que G est enM, queM, I, J sont alignés et donner la position deM sur (IJ).

3. Faire une figure soignée où tous les points considérés seront reportés.

PROBLÈME points

Partie A.

On désigne par f la fonction définie sur R par

f (x)= e x 2 −ex

et on appelle C la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Étudier les variations de f .

Préciser les limites de f en −∞ et en +∞.

2. Déterminer le signe de f (x) en fonction de x.

3. Tracer la courbe C .

Partie B.

Dans cette partie on se propose d’étudier la fonction g définie sur R− {0} par

g (x)= ln ∣

∣e x 2 −ex

∣ .

On note Γ la courbe représentative de g dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Préciser les limites de g en −∞, en +∞ et en 0.

2. Calculer g ′(x) et déterminer le signe de g ′(x) en utilisant le signe de f ′(x) et le signe de f (x).

Dresser le tableau de variations de g .

3. Démonter que pour tout x réel strictement positif :

g (x)− x = ln (

1−e− x 2

)

.

Montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe Γ.

Étudier la position de la courbe Γ par rapport à D pour tout x réel strictement positif.

4. Démontrer que pour tout x réel strictement négatif :

g (x)− x

2 = ln

(

1−e x 2

)

.

Montrer que la droite ∆ d’équation y = x

2 est asymptote à la courbe Γ.

Étudier la position de Γ par rapport à ∆ pour tout x réel strictement négatif.

5. Construire Γ, D et ∆ dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. (On utilisera un graphique dif-

férent de celui de la partie A.)

Nouvelle-Calédonie 2 mars 1996

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