Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 13, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 13, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le polynôme défini sur C, les solutions sous forme trigonométrique.
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[ Baccalauréat S Polynésie juin 1996 \

EXERCICE 1 4 points

Unsondage effectué récemment dansune régionmontagneuse à propos de la construc- tion d’un barrage donne les résultats suivants :

– 65 % des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage ; – parmi les personnes qui sont contre cette construction, 70 % sont des écolo-

gistes ; – parmi les personnes favorables à la construction, 20 % sont des écologistes.

On note C l’évènement : « la personne interrogée est contre la construction », et C l’évènement contraire. On note E l’évènement : « la personne interrogée est écologiste ». On note F l’évènement : « la personne interrogée est contre la construction et n’est pas écologiste ».

1. Calculer les probabilités p(C ), p(E/C ), p (

E/C )

.

a. Calculer la probabilité qu’unepersonne interrogée soit contre la construc- tion du barrage et soit écologiste.

b. Calculer la probabilité pour qu’une personne interrogée soit pour cette construction et soit écologiste.

c. En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste.

2. a. Montrer que la probabilité de F est égale à 0,195.

b. Onchoisit auhasard 5personnes parmi celles qui ont été interrogées lors du sondage. Quelle est la probabilité qu’il y en ait au moins une qui soit contre la construction du barrage et ne soit pas écologiste ? (On suppose que les choix des 5 personnes sont indépendants les uns des autres.)

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

La lettre C désigne l’ensemble des nombres complexes.

Partie A

Soit P le polynôme défini sur C par :

P (z)= z2+2z p 3+4.

1. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0. 2. Écrire les solutions sous forme trigonométrique.

Partie B

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité 4 cm).

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = 2i, b =− p 3+ i et c =−

p 3− i.

1. Placer les points A, B et C sur une figure.

2. Soit Z = ab cb

.

a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z .

b. Écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC ainsi qu’unemesure, en radians, de

l’angle (−−→ BC ,

−−→ BA

)

.

3. Calculer l’aire du triangle ABC en centimètres carrés.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

SoitΩ le point de coordonnées (−2 ; 3). Soit S la similitude plane directe de centre D, d’angle

π

4 et de rapport

p 2.

À tout point M d’affixe z = x+ iy (x et y réels), S associe le point M ′ d’affixe z ′ = x′+ iy ′ (x′ et y ′ réels).

1. Exprimer z ′ en fonction de z. Quelle est la similitude réciproque S ′ de S ?

2. En déduire l’expression de x′ et de y ′ en fonction de x et de y .

3. Soit C ′ la conique dont une équation cartésienne dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

est :

9x2+16y2−144= 0.

Quelle est la nature deC ′ ? Préciser les coordonnées des foyers et des sommets deC ′. Calculer l’excentricité deC ′ et tracer C ′ à l’aide des éléments trouvés.

4. SoitC la conique image deC ′ par la similitude S ′ (autrement ditC ′ est l’image deC par la similitude S).

Sans chercher à déterminer une équation cartésienne de C , donner la nature deC , placer son centre et ses sommets et donner son allure sur lamêmefigure.

PROBLÈME 11 points

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 4 cm).

Partie A - Étude d’une fonction

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x+ ln ( x

2x+1

)

On désigne par C f la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Calculer les limites de f aux bornes de ]0 ; +∞[. b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 0,75 0,75

c. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x− ln2 est asymptote à C f . Étudier la position de C f par rapport à (d).

d. Montrer que l’équation f (x)= 0 admet une solution unique α et justifier

que α appartient à l’intervalle

[

1 ; 5

4

]

.

2. Soit la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)= (2x+1)e−x .

a. Étudier la limite de g en +∞. b. Étudier les variations de g et dresser son tableau de variations.

c. Tracer la courbe Cg représentative de g dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

et sa

tangente à l’origine.

d. Soit b un réel strictement positif.

Déterminer, en cm2, l’aire A (b) de la partie du plan limitée par l’axe des ordonnées, l’axe des abscisses, la courbeCg et la droite d’équation x = b. (On pourra utiliser une intégration par parties.)

Polynésie 2 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. L’aire A (b) admet-elle une limite lorsque b tend vers +∞ ?

Partie B - Calcul approché de α

1. Montrer que α est solution de l’équation g (x)= x.

2. Montrer que : si 16 x6 5

4 , alors 16 g (x)6

5

4 .

3. En étudiant le signe de g ′′ et les variations de g ′, montrer que pour tout élé-

ment x de

[

1 ; 5

4

]

, ∣

g ′(x) ∣

∣6 1

2 .

4. Soit (Un) la suite définie par : U0 = 1 et, pour tout entier naturel n,Un+1 = g (Un

a. Enutilisant 2.montrer par récurrence que : pour tout entier natureln,1 6

Un 6 5

4 .

b. Prouver que : pour tout entier naturel n,

|Un+1−α|6 1

2 |Un α|

En déduire que : pour tout entier naturel n,

|Un α|6 1

2n+2 .

Quelle est la limite de la suite (Un) ?

c. Déterminer un entier naturel p tel queUp soit une valeur approchée de α à 10−3 près et donner une valeur approchée de α à 10−3 près.

Polynésie 3 juin 1996

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