Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 14, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 14, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Premièreméthode, Deuxièmeméthode, le problème.
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[ Baccalauréat S Pondichéry avril 1996 \

EXERCICE 1 4 points

Un fabricant de berlingots possède trois machines A, B et C qui fournissent respec- tivement 10%, 40% et 50% de la production totale de son usine. Une étude a montré que le pourcentage de berlingots défectueux est de 3,5% pour la machine A, de 1,5% pour la machine B et de 2,2% pour la machine C. Après fabrication, les berlingots sont versés dans un bac commun aux trois ma- chines. On choisit au hasard un berlingot dans le bac.

1. Montrer que la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C et soit défectueux est 0,011.

2. Calculer la probabilité que ce berlingot soit défectueux.

3. Calculer la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C sachant qu’il est défectueux.

4. On prélève successivement dans le bac 10 berlingots en remettant à chaque fois le berlingot tiré dans le bac. Calculer la probabilité d ?obtenir aumoins un berlingot défectueux parmi ces 10 prélèvements.

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. On considère trois points distincts A, B et C d’affixes respectives a, b et c.

a. Interpréter géométriquement l’argument du quotient ca ba

·

b. Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement si ca ba

est un nombre

réel.

2. Placer sur une figure (unité graphique : 1cm) les points A1, B1, et C1, d’affixes respectives :

a1 = 2, b−1= i p 3, c1 =−4+3i

p 3.

Montrer, à l’aide de la propriété précédente, que les points A1, B1 et C1 sont alignés.

3. Onconsidère les points A2 , B2, C2, A3, B3, C3, tels que les quadrilatèresOA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3 soient des carrés directs.

a. Tracer les carrés OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3.

b. Donner les affixes a3 et b3 des points A3 et B3 puis les affixes a2 et b2 des points A2 et B2.

c. À l’aide de la rotation de centre O et d’angle π

2 , calculer l’affixe c3 de C3

à l’aide de c1.

d. En déduire que les points A3, B3 et C3 sont alignés.

4. a. Déterminer le réelµ tel que le barycentre du système {

(O, µ), (C1, 1) , (C3, 1) }

soit C2·

b. Calculer l’affixe c2 de C2.

c. Montrer que les points A2, B2 et C2 sont alignés.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Cet exercice propose l’étude de l’ensemble (C) des points M du plan dont les affixes vérifient :

|(1+ i)z−3+3i|2+|z−6|2 = 54.

1. Première méthode

a. En posant z = x+ iy , donner l’équation cartésienne de (C). b. En déduire la nature de (C).

c. Construire (C).

2. Deuxième méthode

On désigne par s la similitude qui, au point M d’affixe z, associe le point

M1 = s(M) d’affixe z1 = (1+ i)z−3+3i et on désigne par t la translation qui, au point M d’affixe z, associe le point M2 = t(M) d’affixe z2 = z−6.

a. Caractériser géométriquement ces deux transformations.

b. Déterminer les antécédents respectifs S et T de O par s et t .

c. Calculer le rapport SM

OM1 puis le rapport

TM

OM2 .

d. En déduire que (C) est la ligne de niveau définie par 2SM2+TM2 = 54. e. Calculer l’affixe du barycentre G du système {(S, 2), (T, 1)}

f. Montrer que l’ensemble (C) est défini par MG2 = 8. g. En déduire la nature et les éléments qui déterminent (C).

PROBLÈME 12 points

Sur la figure ci-dessus, sont représentées la courbe représentativeC dans une repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’une fonction f définie et dérivable sur R ainsi que son

asymptote D et sa tangente T au point d’abscisse 0.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3−4−5

D

C

T

O

Pondichéry 2 avril 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

On sait que le point J (0 ; 1) est centre de symétrie de la courbeC et que l’asymptote D passe par les points K (−1 ; 0) et J , et que la tangente T a pour équation réduite y = (1−e)x+1.

A Expression de f

1. Déterminer une équation deD.

2. On suppose qu’il existe des réels m et p et une fonction ϕ définie sur R telle que, pour tout x réel, f (x)=mx+p+ϕ(x) avec lim

x→+∞ ϕ(x)= 0.

a. Déterminerm et p.

b. Démontrer que pour tout x réel, f (x)+ f (−x)= 2. c. En déduire que la fonction ϕ est impaire puis que la fonction f ′, dérivée

de f , est paire.

3. On suppose maintenant que, pour tout x réel :

ϕ(x)= (ax+b)e−x 2 où a et b sont des réels.

Démontrer en utilisant les données et les résultats précédents que a = −e et que b = 0.

B

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= 1+ xxe−x 2+1.

On suppose que la courbe C représente la fonction f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. a. Vérifier que pour tout réel x :

f ′(x)= 1+ (

2x2−1 )

e−x 2+1.

Calculer f ′(0).

b. Vérifier que T est bien la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0. étudier la position de la courbe C vis à vis de sa tangente T.

2. Le graphique suggère l’existence d’un minimum relatif de f sur l’intervalle [0 ; 1].

a. Démontrer que f ′′(x) est du signe de 6x−4x3 . b. Démontrer que l’équation f ′(x) = 0 admet une solution α unique dans

l’intervalle [0 ; 1].

c. Montrer que 0,51<α< 0,52. d. Exprimer f (α) sous la forme d’un quotient de deux polynômes.

C

Sur le graphique, la courbeC est très prochede son asymptote pour les points d’abs- cisses supérieure à 2,4. Cette partie propose de préciser cette situation en calculant, pour tout réel λ positif ou nul, l’aire A (λ), exprimée en unités d’aire, du domaine limité par C , D et les droites d’équations x = 0 et x =λ.

1. Exprimer A (λ) en fonction de λ.

2. Déterminer la limite A de A (λ) quand λ tend vers +∞. 3. À partir de quelle valeur de λ a-t-on |A (λ)−A|6 10−2 ?

Pondichéry 3 avril 1996

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