Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 15, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 15, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer la probabilité de l’évènement, Justifier que X prend les valeurs 2, 3 et 4, Résoudre l'équation différenti...
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Sportifsseptembre1996.dvi

[ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \ septembre 1996

EXERCICE 1 4 points

Un tiroir contient, pêle-mêle, 5 paires de chaussures noires, 3 paires de chaussures vertes et 2 paires de chaussures rouges. Toutes les paires de chaussures sont de mo- dèles différents. N. B. : Dans toutes les questions, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On tire simultanément 2 chaussures au hasard et l’on admet l’équiprobabilité de chaque tirage.

a. Calculer la probabilité de l’évènement A « tirer 2 chaussures de la même couleur ».

b. Calculer la probabilité de l’évènement B « tirer un pied gauche et un pied droit ».

c. Montrer que la probabilité de l’évènement C « tirer les deux chaussures

d’un mêmemodèle » est 1

19 .

2. On ne conserve plus dans le tiroir qu’une paire de chaussures noires et une paire de chaussures rouges.

On tire, successivement et sans remise, une chaussure du tiroir jusqu’à ce que le tiroir soit vide.

OnnoteX la variable aléatoire égale au rang d’apparitionde la deuxième chaus- sure noire.

a. Justifier que X prend les valeurs 2, 3 et 4.

b. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathé- matique.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

I.

1. a. Résoudre dans C l’équation suivante :

z2−6cos (

π

6

)

z+9= 0.

On notera z1 et z2 les solutions trouvées, z1 étant la solution de partie imaginaire positive.

b. Déterminer le module et un argument de z1 et de z2 et donner l’écriture exponentielle de z1 et de z2.

2. Placer dans le planP rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

d’unité

graphique 1 cm, les images M1 et M2 de z1 et z2.

Expliquer pourquoiM1 etM2 sont situés sur le cercle Γ de centreO et de rayon 3, que l’on tracera.

II. On considère la transformation f du plan P qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ =

(

− 1

2 + i

p 3

2

)

z.

On considère les points A et B d’affixe zA = 3ei π

6 et zA = 3e−i π

6 et A′ et B′ leurs images par f .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Montrer que f est une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

2. Déterminer sous forme exponentielle, les affixes zA′ et zB′ , des points A ′ et B′.

Placer les points A, B, A′ et B′ sur la figure.

Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle Γ.

3. Calculer arg

(

zA′

zB′

)

etmontrer que B et A′ sont symétriques par rapport au point

O. En déduire que le triangle ABA′ est rectangle.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

A et B sont deux points du plan orienté dans le sens usuel et tels que AB = 6 cm.

On note : r1 la rotation de centre A et d’angle de mesure π

3 et r2 la rotation de centre

B et d’angle de mesure − 2π

3 .

Pour tout point M du plan, on note M1 et M2 les images respectives de M par r1 et r2.

1. M étant le point de la figure ci-jointe, construire les points M1 et M

2. Le but de cette question est de démontrer que, pour tout point M du plan, le milieu du segment [M1M2] est un point fixe I.

On pose f = r1 ◦ r−12 où r −1 2 désigne la transformation réciproque de r2.

a. Déterminer f (M2).

b. Montrer que f est une symétrie centrale.

c. En déduire que le milieu du segment [M1M2] est un point fixe I que l’on placera sur la figure.

3. Dans cette question, le plan estmuni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

tel que A et B aient pour affixes respectives −3 et 3.

On note z1 et z2 les affixes respectives deM1 et M2. M est un point du plan, distinct de A et de B, d’affixe z.

a. Exprimer z1 et z2 en fonction de z.

Montrer que : z2− z

z1− z = i

p 3 z−3

z+3 .

b. En déduire que :

(1) : (−−−−→ MM1 ,

−−−−→ MM2

)

= (−−→ MA ,

−−→ MB

)

+ π

2 +2, (k ∈Z).

(2) : MM2

MM1 = p 3 MB

MA .

c. Déterminer à l’aide de l’égalité (1) l’ensemble (Γ) des points M du plan tels que M , M1, M2 soient alignés.

Construire (Γ) sur la figure de la question 1.

PROBLÈME 11 points

L’objectif de la partie A est de résoudre une équation différentielle (J) avec second membre. Dans la partie B, on étudiera une fonction, solution particulière de l’équa- tion (1), à l’aide d’une fonction auxiliaire. Dans la partie C, on déterminera l’aire d’une région du plan donnée. Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A - Résolution d’une équation différentielle

On se propose de déterminer les fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ qui sont solutions de l’équation différentielle suivante :

y ′′+3y ′+2y = x−1

x2 e−x . (1)

Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Montrer que la fonction p définie sur ]0 ; +∞[ par : p(x) = e−x lnx est une solution particulière de l’équation (1).

2. Démontrer qu’une fonction f définie sur ]0 ; +∞[ est solution de l’équation différentielle (1) si et seulement si la fonction h = f p est une solution de l’équation différentielle :

y ′′+3y ′+2y = 0 (2)

3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle :

y ′′+3y ′+2y = 0 (2)

4. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (1).

Partie B - Étude de fonctions

On se propose dans cette partie d’étudier une solution particulière de l’équation différentielle (1). Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= e−x (3+ lnx).

I. Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)=−3− lnx+ 1

x .

1. Calculer les limites de g aux bornes de son domaine de définition.

2. Déterminer la fonction dérivée g ′ de g et dresser le tableau de variation de g .

3. Démontrer que l’équation g (x)= 0 admet une seule solution α dans ]0 ; +∞[ et que cette solution ex appartient à [0,45 ; 0,46].

4. Déduire de ce qui précède, l’étude du signe de g (x) sur ]0 ; +∞[.

II. Étude de la fonction f On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

d’unité graphique 4 cm.

1. Étudier les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

Pour calculer lim x→−∞

f (x) on pourra établir que :

f (x)= 3e−x + lnx

x · x

ex pour tout x > 0.

Déduire de cette étude les asymptotes de la courbe C .

2. Déterminer la fonction dérivée f ′ de f et vérifier que pour tout réel x stricte- ment positif on a :

f ′(x)= e−x · g (x).

Déduire de l’étude faite à la question 1. 4. les variations de f .

Pour le calcul de f (α), on prendra la valeur approchée de α : α≈ 0,45.

3. Déterminer le point d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.

4. Tracer la courbe C .

Sportifs de haut-niveau 3 septembre 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie C - Calcul d’aire

On considère dans le repère orthogonal (

O, −→ u ,

−→ v

)

ci-après (unité sur l’axe des abs-

cisses : 4 cm, unité sur l’axe des ordonnées : 1 cm), la courbe de la fonction g définie par :

Pour tout x > 0 g (x)=−3− lnx+ 1

x .

α est la valeur déterminée en B. 1. c. telle que : g (α)= 0.

α −→ u

−→ v

1 4

1. Déterminer en fonction de α :

I = ∫

α

0,25 ln(x)dx.

On pourra utiliser une intégration par parties.

2. a. Calculer, en fonction de α :

J = ∫

α

0,25 g (x)dx.

b. Montrer que l’on a :

J =α+ 1

α − 7

2 + 3

2 ln2.

3. Calculer l’aire A en cm2 de la partie grisée sur la figure, en fonction de α.

Donner une valeur approchée de A en prenant α≈ 0,45.

Sportifs de haut-niveau 4 septembre 1996

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