Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 2, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 2, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

PDF (49.4 KB)
4 pages
244Numéro de visites
Description
Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: étudier l’évolution des tirages successifs, Déterminer la probabilité, Justifier la relation de récurrence.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
AmeriqueNordSjuin1996.dvi

[ Baccalauréat S Amérique du Nord \ juin 1996

EXERCICE 1 4 points

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On imagine n sacs de jetons S1, S2, . . . , Sn . Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d’étudier l’évolution des tirages successifs d’un jeton de ces sacs, ef- fectués de la façon suivante :

– Première étape : on tire au hasard un jeton de S1, – Deuxième étape : on place ce jeton dans S2 et on tire, au hasard, un jeton de

S2, – Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2 on tire, au ha-

sard, un jeton de S3 et . . . ainsi de suite, . . .

S1 S2 S3

Pour tout entier naturel k tel que 16 k 6 n, on note Ek l’évènement : « le jeton sorti de Sk est blanc », et Ek l’évènement contraire.

1. a. Déterminer la probabilité de E1 notée p (E1) et les probabilités condi-

tionnelles : p (E2/E1) et p ( E2/E1

) .

En déduire la probabilité de E2 notée p (E2).

b. Pour tout entier naturel k tel que 16 k 6 n, la probabilité de Ek est notée pk .

Justifier la relation de récurrence suivante :

pk+1 = 1

3 pk +

1

3 .

2. Étude d’une suite (uk ) :

On note (uk ) la suite définie par u1 = 1

3 et, pour tout entier k > 1,

uk+1 = 1

3 uk +

1

3 .

a. On considère la suite (vk ) définie par, pour tout élément k de N ∗ par

vk = uk − 1

2 .

Démontrer que (vk ) est une suite géométrique,

b. En déduire l’expression de uk en fonction de k. Montrer que la suite (uk ) est convergente et préciser sa limite,

3. Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminer pour quelles valeurs de k on a :

0,49996 pk 6 0,5.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

L’espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct ( O,

−→ OI ,

−→ OJ ,

−−→ OK

) ,

on considère le cube de sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est donnée ci-dessous

O I

R

J

K L

MN

On note A le milieu de [IL] et B le point défini par :

−−→ KB =

2

3

−−→ KN .

On appelle P le plan passant les points O, A et B.

1. a. Préciser les coordonnées des points A et B.

b. Déterminer les coordonnées du vecteur −→ u tel que

−→ u =

−−→ OA ∧

−−→ OB .

2. a. En déduire que l’aire du triangle OAB vaut

p 14

6 .

b. Le point C ( 1 ; 13 ; 1

) appartient-il à P ? Justifier votre réponse.

3. On considère le tétraèdre OABK.

a. Montrer que le volume vaut 1

9 .

b. En déduire la distance du point K au plan P.

N. B. : on rappelle que le volume d’un tétraèdre est le tiers du produit de l’aire d’une base par la longueur de la hauteur correspondante.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère quatre points distincts A, B, C et D se succédant dans le sens trigonométrique sur un même cercle.

b

b

b

b

A

B

C

D

Amérique du Nord 2 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

D’unemanière générale, siM,N, P,Q sont quatre points telsM 6=Net P 6=Q, (−−→ MN ,

−−→ PQ

)

désigne une mesure en radians de l’angle des vecteurs á(−−→ MN ,

−−→ PQ

) .

1. Soit S la similitudeplanedirecte de centre A qui transformeC enD.Ondésigne par E l’image du point B.

a. Montrer que (−−→ CB ,

−−→ DE

) =

(−−→ AC ,

−−→ AD

) mod 2π.

b. Montrer que E est sur la droite (BD). Marquer le point E sur la figure. On admettra que E est sur le segment [BD].

c. Montrer que AD × BC = DE × AC.

2. a. Montrer que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

(−→ AE ,

−−→ AD

) mod 2π puis que

AD

AE =

AC

AB .

b. Soit S ′ la similitude directe de centre A qui transforme B en C. Montrer que D est l’image de E par cette similitude.

c. Prouver que AB × CD = AC × BE. 3. Utiliser ce qui précède pour démontrer la relation :

AC×BD=AB×CD+AD×BC.

Remarque : cette relation est connue sous le nom de théorème de Ptolémée. Ptolémée était un mathématicien et astronome grec du IIe siècle après J.–C. : il utilisait cette relation pour calculer les longueurs des cordes d’arc de cercle, ancêtres de nos rapports trigonométriques.

PROBLÈME 11 points

Partie A

1. Soitϕ la fonction définie sur R parϕ(t)= et et Γ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité : 2 cm).

a. Tracer Γ ainsi que la tangente au point d’abscisse 0 après en avoir donné une équation sous la forme y = ϕ1(t). Par une observation graphique, comparer et et t +1.

b. Étudier le sens de variation de la fonction :

h : t 7−→ϕ(t)−ϕ1(t).

En déduire que pour tout élément t de R on a : et > t +1. Préciser dans quel(s) cas on a l’égalité.

2. Déduire de ce qui précède que, pour tout élément t de ]−1 ; +∞[, on a :

e−16 1

t +1 .

Préciser dans quel(s) cas on a l’égalité.

Partie B

Soit f la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par :

f (x)= ln(x +1)+e−x .

1. Déterminer les limites de f en −1 et en +∞. 2. Étudier les variations de f . Dresser le tableau de ces variations.

3. SoitC la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité : 4 cm).

a. Quelle est la tangente à C au point d’abscisse 0 ?

b. Construire C et cette tangente.

Amérique du Nord 3 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. a. Montrer que l’équation f (x)= 0 admet une seule solution notéeα et que −1<α< 0.

b. Compléter le tableau suivant :

x −0,95 −0,94 −0,93 −0,92 −0,91 −0,90 f (x)

Remarque : Pour f (x), on donnera une approximation décimale à 10−2

près.

Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

Partie C

Soit J = ∫0

α

f (x)dx, où α est le réel défini dans la partie B, mais il n’est pas indispen-

sable d’avoir traité les questions de la partie B pour traiter cette partie jusqu’au 5. a. inclus.

1. Interpréter graphiquement J .

Sans chercher à calculer J , montrer géométriquement que 06 J 6−α. 2. a. Montrer que, pour tout x >−1,

x

x +1 = 1−

1

x +1

b. Calculer ∫0

α

x

x +1 dx en fonction de α.

3. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties :∫0

α

ln(x +1)dx en fonction de α.

4. a. Calculer l’intégrale J en fonction de α.

b. En utilisant le fait que α est solution de f (x)= 0, montrer que J =α−1+e−α(α+2).

5. Soit g la fonction définie sur R par :

g (x)= x −1+e−x (x +2).

a. Calculer g ′. Montrer que pour tout élément x de R, g ′(x) = e−x h(x), où h est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le signe de g ′(x) et le sens de variation de g .

b. Utiliser en particulier l’encadrement d’amplitude 10−2 deα pour donner un encadrement de J puis une valeur approchée de J en indiquant la précision.

Remarque : On indiquera sur la copie les résultats utilisés fournis par la calculatrice.

Amérique du Nord 4 juin 1996

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome