Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: étudier l’évolution des tirages successifs, Déterminer la probabilité, Justifier la relation de récurrence.
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[ Baccalauréat S Amérique du Nord \ juin 1996

EXERCICE 1 4 points

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On imagine n sacs de jetons S1, S2, . . . , Sn . Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d’étudier l’évolution des tirages successifs d’un jeton de ces sacs, ef- fectués de la façon suivante :

– Première étape : on tire au hasard un jeton de S1, – Deuxième étape : on place ce jeton dans S2 et on tire, au hasard, un jeton de

S2, – Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2 on tire, au ha-

sard, un jeton de S3 et . . . ainsi de suite, . . .

S1 S2 S3

Pour tout entier naturel k tel que 16 k 6 n, on note Ek l’évènement : « le jeton sorti de Sk est blanc », et Ek l’évènement contraire.

1. a. Déterminer la probabilité de E1 notée p (E1) et les probabilités condi-

tionnelles : p (E2/E1) et p ( E2/E1

) .

En déduire la probabilité de E2 notée p (E2).

b. Pour tout entier naturel k tel que 16 k 6 n, la probabilité de Ek est notée pk .

Justifier la relation de récurrence suivante :

pk+1 = 1

3 pk +

1

3 .

2. Étude d’une suite (uk ) :

On note (uk ) la suite définie par u1 = 1

3 et, pour tout entier k > 1,

uk+1 = 1

3 uk +

1

3 .

a. On considère la suite (vk ) définie par, pour tout élément k de N ∗ par

vk = uk − 1

2 .

Démontrer que (vk ) est une suite géométrique,

b. En déduire l’expression de uk en fonction de k. Montrer que la suite (uk ) est convergente et préciser sa limite,

3. Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminer pour quelles valeurs de k on a :

0,49996 pk 6 0,5.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

L’espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct ( O,

−→ OI ,

−→ OJ ,

−−→ OK

) ,

on considère le cube de sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est donnée ci-dessous

O I

R

J

K L

MN

On note A le milieu de [IL] et B le point défini par :

−−→ KB =

2

3

−−→ KN .

On appelle P le plan passant les points O, A et B.

1. a. Préciser les coordonnées des points A et B.

b. Déterminer les coordonnées du vecteur −→ u tel que

−→ u =

−−→ OA ∧

−−→ OB .

2. a. En déduire que l’aire du triangle OAB vaut

p 14

6 .

b. Le point C ( 1 ; 13 ; 1

) appartient-il à P ? Justifier votre réponse.

3. On considère le tétraèdre OABK.

a. Montrer que le volume vaut 1

9 .

b. En déduire la distance du point K au plan P.

N. B. : on rappelle que le volume d’un tétraèdre est le tiers du produit de l’aire d’une base par la longueur de la hauteur correspondante.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère quatre points distincts A, B, C et D se succédant dans le sens trigonométrique sur un même cercle.

b

b

b

b

A

B

C

D

Amérique du Nord 2 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

D’unemanière générale, siM,N, P,Q sont quatre points telsM 6=Net P 6=Q, (−−→ MN ,

−−→ PQ

)

désigne une mesure en radians de l’angle des vecteurs á(−−→ MN ,

−−→ PQ

) .

1. Soit S la similitudeplanedirecte de centre A qui transformeC enD.Ondésigne par E l’image du point B.

a. Montrer que (−−→ CB ,

−−→ DE

) =

(−−→ AC ,

−−→ AD

) mod 2π.

b. Montrer que E est sur la droite (BD). Marquer le point E sur la figure. On admettra que E est sur le segment [BD].

c. Montrer que AD × BC = DE × AC.

2. a. Montrer que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

(−→ AE ,

−−→ AD

) mod 2π puis que

AD

AE =

AC

AB .

b. Soit S ′ la similitude directe de centre A qui transforme B en C. Montrer que D est l’image de E par cette similitude.

c. Prouver que AB × CD = AC × BE. 3. Utiliser ce qui précède pour démontrer la relation :

AC×BD=AB×CD+AD×BC.

Remarque : cette relation est connue sous le nom de théorème de Ptolémée. Ptolémée était un mathématicien et astronome grec du IIe siècle après J.–C. : il utilisait cette relation pour calculer les longueurs des cordes d’arc de cercle, ancêtres de nos rapports trigonométriques.

PROBLÈME 11 points

Partie A

1. Soitϕ la fonction définie sur R parϕ(t)= et et Γ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité : 2 cm).

a. Tracer Γ ainsi que la tangente au point d’abscisse 0 après en avoir donné une équation sous la forme y = ϕ1(t). Par une observation graphique, comparer et et t +1.

b. Étudier le sens de variation de la fonction :

h : t 7−→ϕ(t)−ϕ1(t).

En déduire que pour tout élément t de R on a : et > t +1. Préciser dans quel(s) cas on a l’égalité.

2. Déduire de ce qui précède que, pour tout élément t de ]−1 ; +∞[, on a :

e−16 1

t +1 .

Préciser dans quel(s) cas on a l’égalité.

Partie B

Soit f la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par :

f (x)= ln(x +1)+e−x .

1. Déterminer les limites de f en −1 et en +∞. 2. Étudier les variations de f . Dresser le tableau de ces variations.

3. SoitC la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité : 4 cm).

a. Quelle est la tangente à C au point d’abscisse 0 ?

b. Construire C et cette tangente.

Amérique du Nord 3 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. a. Montrer que l’équation f (x)= 0 admet une seule solution notéeα et que −1<α< 0.

b. Compléter le tableau suivant :

x −0,95 −0,94 −0,93 −0,92 −0,91 −0,90 f (x)

Remarque : Pour f (x), on donnera une approximation décimale à 10−2

près.

Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

Partie C

Soit J = ∫0

α

f (x)dx, où α est le réel défini dans la partie B, mais il n’est pas indispen-

sable d’avoir traité les questions de la partie B pour traiter cette partie jusqu’au 5. a. inclus.

1. Interpréter graphiquement J .

Sans chercher à calculer J , montrer géométriquement que 06 J 6−α. 2. a. Montrer que, pour tout x >−1,

x

x +1 = 1−

1

x +1

b. Calculer ∫0

α

x

x +1 dx en fonction de α.

3. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties :∫0

α

ln(x +1)dx en fonction de α.

4. a. Calculer l’intégrale J en fonction de α.

b. En utilisant le fait que α est solution de f (x)= 0, montrer que J =α−1+e−α(α+2).

5. Soit g la fonction définie sur R par :

g (x)= x −1+e−x (x +2).

a. Calculer g ′. Montrer que pour tout élément x de R, g ′(x) = e−x h(x), où h est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le signe de g ′(x) et le sens de variation de g .

b. Utiliser en particulier l’encadrement d’amplitude 10−2 deα pour donner un encadrement de J puis une valeur approchée de J en indiquant la précision.

Remarque : On indiquera sur la copie les résultats utilisés fournis par la calculatrice.

Amérique du Nord 4 juin 1996

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