Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 4, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 4, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation d’inconnue Z, le module de a, l’écriture algébrique de z′ en fonction de r.
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[ Baccalauréat C Antilles juin 1996 \

EXERCICE 1 4 points

Une urne contient une boule rouge, deux boules blanches et trois boules noires.

1. On extrait simultanément trois boules de cette urne. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

Soit X la variable aléatoire « Nombre de boules blanches tirées parmi les trois boules extraites ».

Déterminer la loi de probabilité de X , son espérance mathématique et son écart type.

2. Onextrait successivement trois boules de cette urne, en remettant après chaque tirage la boule extraite de l’urne.

On suppose tous les tirages équiprobables.

SoitY la variable aléatoire «Nombrede tirages où apparaît uneboule blanche».

Déterminer la loi de probabilité de Y et son espérance mathématique.

EXERCICE 2 OBLIGATOIRE 6 points

1. On considère dans C l’équation d’inconnue Z :

Z 3−12Z 2+48Z −128= 0.

a. Vérifier que 8 est solution de cette équation.

Déterminer les nombres réels α, β et γ tels que, pour tout nombre com- plexe Z :

Z 3−12Z 2+48Z −128= (Z −8) (

αZ 2+βZ +γ )

.

b. Résoudre alors l’équation (E)

2. (

O, −→ u ,

−→ v )

est un repère orthonormal du plan orienté (unité : 1 cm).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 2−2i p 3, b = 2+2i

p 3 et c = 8.

a. Calculer le module de a, |a| et donner un argument de a.

b. Calculer le nombre complexe q = ac bc

, déterminer son module et son

argument ϕ. En déduire, la nature du triangle ABC.

c. Déterminer le barycentreD des points pondérés (A, |a|), (B, |b|), (C, |c|). PlacerD.

d. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tels que :

−−→ MA +−−→MB +2−−→MC

∥= ∥

−−→ MA +−−→MB −2−−→MC

∥ .

Tracer Γ.

EXERCICE 2 SPÉCIALITÉ 6 points (

O, −→ u ,

−→ v )

est un repère orthonormal direct du plan orienté, l’unité graphique est 2 cm. On considère l’application f de ce plan privé de O dans lui-même qui à tout point M d’affixe z non nulle associe le point M ′ d’affixe :

z ′ = z+ 1

z

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. On considère les points P, Q, R, U d’affixes respectives 2,−2,i,−2i. Calcu- ler les affixes de leurs images par f notées P′, Q′, R′, U′. Placer ces points.

b. Soit E′ le point d’affixe −1. Montrer que E′ est l’image par f de deux points E1 et E2 dont on calculera le affixes z1 et z2. Calculer |z1| (ou bien |z2|) et utiliser ce résultat pour placer E1 et E2. Placer E′.

2. On se propose de déterminer l’ensemble (

Γ ′) des points M ′ lorsque M décrit

une courbe (Γ) donnée.

a. Préliminaire : on note r le module de z et θ son argument ; on désigne par x′ et y ′ les coordonnées deM ′.

Donner l’écriture algébrique de z ′ en fonction de r et θ et montrer que l’on a :

x′ = (

r + 1

r

)

cosθ

y ′ = (

r − 1

r

)

sinθ

b. On suppose que M décrit le cercle (Γ1) de centre O et de rayon 1.

• Justifier que les points R′ et E′ appartiennent à (

Γ ′ 1

)

.

• Déduire du 2. a. une représentation paramétrique de (Γ1) et préciser la nature de (Γ1).

c. On suppose que M décrit le cercle (Γ2) de centre O et de rayon 2.

Justifier que les points P′, Q′ et U′ appartiennent à (

Γ ′ 2

)

.

Donner une représentation paramétrique de (

Γ ′ 2

)

. En déduire que (

Γ ′ 2

)

est une ellipse dont on donnera une équation cartésienne.

Préciser les éléments géométriques (sommets, foyers, directrices, excen- tricité) de

(

Γ ′ 2

)

et tracer (

Γ ′ 2

)

.

PROBLÈME 10 points

Partie A - Étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= 5 lnx p x .

On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

du plan, l’unité graphique est 1 cm.

1. Étudier les limites de f respectivement en 0 et en+∞. Que peut-on en déduire pour la courbe (C ) ?

2. Étudier le sens de variation de f et donner le tableau de ses variations.

3. Donner une équation de la tangente (T ) à (C ) en son point A d’abscisse 1. Tracer (T ) et (C ).

4. Soit le domaine plan

(D)= {M(x ; y)/16 x 6 e2 et 06 y 6 f (x)}.

Calculer l’aire en cm2 de (D) à l’aide d’une intégration par parties.

Partie B - Étude de l’équation f (x) =−5

1. Justifier l’affirmation : « l’équation f (x)=−5 admet sur ]0 ; +∞[ une solution unique α, et 0,4< a < 0,6 ».

Antilles–Guyane 2 juin 1996

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. a. On pose pour x strictement positif h(x)= e− p x .

Vérifier que α est solution de l’équation :

h(x)= x.

b. Calculer h′(x), puis montrer que pour tout réel x de [0,4 ; 0,6] on a :

h(x) ∈ [0,4 ; 0,6] et ∣

h′(x) ∣

∣6 0,43.

3. On considère la suite (un ) définie surN par :

u0 = 0,4 et un+1 = h (un ) .

a. Justifier successivement les affirmations :

• (un ) est une suite d’éléments de [0,4 ; 0,6]. • Pour tout entier n, |un+1−α|6 0,43 |un α|. • Pour tout entier n, |un α|6 0,2× (0,43)n . • La suite (un ) converge vers α.

b. Déterminer leplus petit entier n0 solution de l’inéquation

0,2× (0,43)n 6 10−4.

Que représente un0 pour α ?

À l’aide de votre calculatrice, çalculer un0 et donner une approximation décimale à 10−5 du résultat affiché.

Antilles–Guyane 3 juin 1996

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