Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 5, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 5, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Méthode analytique, Méthode géométrique, Le graphique.
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AsieS1996.dvi

[ Baccalauréat S Japon juin 1996 \

EXERCICE 1 4 points

Dans cet exercice, les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions.

On dispose de trois dés à 6 faces, parfaitement équilibrés. Sur le premier, 2 faces sont bleues ; sur le deuxième, 3 faces sont bleues ; sur le troi- sième, 5 faces sont bleues ; les autres faces sont rouges.

Partie A

Dans un premier temps, on considère le premier dé. On le lance 5 fois de suite, les lancers sont indépendants.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge dans cet ordre ?

2. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge ?

3. Quelle est la probabilité d’avoir au moins une face bleue ?

Partie B

On considère maintenant les trois dés.

1. On prend au hasard et de façon équiprobable l’un des trois dés et on le lance. Quelle est la probabilité d’obtenir une face bleue ?

2. Quelle est la probabilité d’avoir lancé le troisième dé sachant que l’on a ob- tenu une face bleue ?

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

[unité gra-

phique 2 cm]. À tout complexe z, distinct de 4, on associe le nombre :

Z = iz−4 z−4

.

On note A le point d’affixe 4 et on considère l’ensemble C des points M du plan, distincts de A, et d’affixe z telle que Z soit un nombre réel. On se propose de déterminer et de construire cet ensemble C par deux méthodes différentes.

1. Méthode analytique

a. On pose : z = x+ iy et Z = X + iY avec x, y, X , Y réels. Exprimer X et Y en fonction de x et y .

b. Écrire une équation cartésienne de C . Reconnaître la nature de C et ca- ractériser cet ensemble. Construire C .

2. Méthode géométrique

On considère le point B d’affixe −4i.

a. Vérifier que iz−4 z−4

est réel si et seulement si le nombre z+4i z−4

est imagi-

naire pur. On pourra remarquer que :

iz−4= i(z+4i).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Quelles sont les affixes des vecteurs −−→ AM et

−−→ BM ? En interprétant géo-

métriquement la condition ci-dessus, établir que M appartient à C si et

seulement si −−→ AM et

−−→ BM sont orthogonaux.

En déduire la nature de C , et caractériser cet ensemble.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, unité graphique : 2 cm.

1. Étude d’une courbe paramétrée C

On considère la courbe C définie paramétriquement par : t2

{

x = f (t) = t 2

2 + t y = g (t) = − t

2

2 + t t ∈R.

a. Étudier conjointement les variations sur R des fonctions f et g .

b. Préciser les points de C où la tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées.

c. Préciser les points d’intersection de C avec chacun des axes Ox et Oy .

Donner un vecteur directeur des tangentes aux points obtenus. Dessiner C .

2. On se propose de démontrer que la courbe C est une parabole, en étudiant son image par une transformation particulière du plan.

a. Le plan est assimilé au plan complexe. On considère l’application R qui,

à tout pointM duplan d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ = (1+ i) p 2

z.

Quelle est la nature de R ? Déterminer ses éléments géométriques.

b. Calculer en fonction de t l’affixe de M ′ lorsque M est le point d’affixe : f (t)+ ig (t). En déduire l’expression en fonction de t des coordonnées x′ et y ′ du pointM ′. Écrire une équation cartésienne de la courbeC ′ image par R de la courbe C . Représenter C ′ sur la même figure que C .

Pourquoi peut-on affirmer que C est une parabole ?

PROBLÈME 11 points

Le graphique ci-dessous présente dans un même repère orthonormal le tracé de deux courbes, C f et Cg . L’une, la courbe C f est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’inter- valle [0 ; +∞[ par : x 7−→ f (x)= (1− x)

p x.

L’autre, la courbe Cg , représente la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : {

g (x) = −x lnx pour x strictement positif g (0) = 0

Japon 2 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

−0,5

−1,0

−1,5

−2,0

−2,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5O

x

y

Partie A - Le but de cette partie est de déterminer quel est le tracé de C f et quel est celui de Cg . Comparaison des deux fonctions f et g

On s’intéresse à la différence : f (x)− g (x) et on se propose d’en étudier le signe. À cet effet, on pose pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[ :

ϕ(x)= f (x)− g (x)

x

1. Vérifier que : ϕ(x) = lnx − p x +

1 p x .Calculer la fonction dérivée ϕ′ de ϕ et

vérifier que : ϕ′(x)=− (p

x−1 )2

2x p x

.

Que est le sens de variation de ϕ sur [0 ; +∞[ ? (L’étude des limites de ϕ aux bornes de son domaine de définition n’est pas demandée).

2. Calculer ϕ(1) puis déterminer le signe de la différence f (x)−g (x) sur [0 ; +∞[. 3. En déduire les positions relatives des courbes C f et Cg . Identifier sur le gra-

phique chacune de ces deux courbes.

Partie B - Calcul d’intégrales

Pour tout réel a de l’intervalle ]0 ; 1] on pose :

I (a)= ∫1

a f (x)dx et J (a)=

∫1

a g (x)dx.

1. Calculer l’intégrale I (a) en fonction de a. À cet effet, on pourra remarquer que f (x) peut s’écrire :

f (x)= x 1 2 − x

3 2 .

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer J (a) en fonction de a.

Japon 3 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. a. Calculer :

lim a→0

(I (a)− J (a)). [On admettra que lim x→0

(

x2 lnx )

= 0].

b. Donner une interprétation géométrique de cette limite.

Partie C - On considère l’équation, définie dans R+ par : g (x)=−24. Dans cette par- tie, on se propose de déterminer une valeur approchée de la solution α de cette équation.

1. Justifier que l’équation proposée a dansR+ une solutionα et une seule et que : 9<α< 11. Vérifier que α est solution de l’équation :

x = 24

lnx .

2. Soit h la fonction définie sur [9 ; 11] par :

h(x)= 24

lnx .

a. Démontrer, que pour tout réel x de l’intervalle [9 ; 11], h(x) appartient aussi à l’intervalle [9 ; 11].

b. Démontrer, pour tout x de l’intervalle [9 ; 11], la double inégalité :

h′(x) ∣

∣6 2

3(ln3)2 < 0,56.

c. En déduire, pour tout réel x de l’intervalle [9 ; 11], l’inégalité :

|h(x)−h(α)|6 0,56|xα|.

3. On considère la suite (un ) définie par récurrence :

{

u0 = 9 un+1 = h (un ) pour tout entier naturel n.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à l’intervalle [9 ; 11], puis que l’inégalité |un+1−α|6 0,56 |un α| est vé- rifiée.

b. En déduire, que, pour tout entier naturel n l’inégalité |un α|6 2(0,56)n est vérifiée. Démontrer que la suite (un ) converge vers α.

c. Trouver le plus petit entier naturel n pour lequel on a l’inégalité :

2(0,56)n < 0,01.

Soit n0 cet entier, que représente pour α le terme un0 correspondant ?

À l’aide de votre calculatrice, donner une approximation décimale à 10−2

près de un0 .

Japon 4 juin 1996

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