Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 6, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 6, Exercices de Les méthodes d'analyse numérique

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la condition initiale, la limite de la suite, le rapport des aires.
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CentresetrangersSjuin1996.dvi

[ Baccalauréat S Centres étrangers \ juin 1996

1.

EXERCICE 1 4 points

1. Soit a un nombre réel. On considère la suite (un ) de nombres réels définie pour tout entier naturel n> 1 par la relation de récurrence

un+1 = 4

10 −

3

10 un

et par la condition initiale u1 = a.

a. Soit (vn) la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel n > 1 par vn = 13un −4.

Montrer que (vn) est une suite géométrique et déterminer sa raison k.

Exprimer vn en fonction de n et a.

b. Prouver que pour tout entier naturel n> 1,

un = 4

13 +

(

a− 4

13

)(

− 3

10

)n−1

.

c. Déterminer la limite de la suite (un ).

2. Un professeur oublie fréquemment les clés de sa salle de classe. Pour tout en- tier naturel n > 1, on note En l’évènement : « le professeur oublie ses clés le jour n » et En l’évènement contraire de En .

Soit pn la probabilité de En et qn celle de En . On note a la probabilité p1 qu’il oublie ses clés le premier jour. On suppose en outre que les deux conditions suivantes sont réalisées :

– Si le jour n, il oublie ses clés, la probabilité qu’il les oublie encore le jour

suivant n+1 est 1

10 .

– Si le jour n, il n’oublie pas ses clés, la probabilité qu’il les oublie le jour

suivant n+1 est 4

10 .

a. Montrer que, pour tout n> 1, pn+1 = 1

10 pn +

4

10 qn .

Pour cela, on pourra d’abord calculer les probabilités conditionnelles

p (En+1/En) et p (

En+1/En )

.

En déduire l’expression de pn+1 en fonction de pn .

b. À l’aide des résultats de la question 1., donner l’expression de pn en fonc- tion de a et n.

La limite p de pn dépend-elle de la condition initiale a ?

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. Lorsqu’un point de

P est désigné par une lettre majuscule (A, B, G, . . . , M1, . . . , M′, . . . ), on convient de désigner son affixe complexe par la lettre minuscule correspondante (a,b, g , . . . ,m1, . . . ,m′, . . .). Soient A, B, C trois points du plan P. On note G leur isobarycentre. À tout point M du plan P on associe les points M1, M2, M3 isobarycentres respectifs de {M, B, C},{M, A, C} et {M, A, B}. Onnote enfinM′ l’isobarycentre de {M1,M2,M3}.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. a. Tracer le triangle ABC et son isobarycentre G sur une figure.

Exprimer −−→ OG , en fonction de

−−→ OA ,

−−→ OB et

−−→ OC . En déduire l’expression de

g en fonction de a, b, c.

b. Exprimer de mêmem1,m2,m3 puism′ en fonction de a, b, c,m.

2. Soit f la transformation qui à tout point M de P associe le point M′.

a. Montrer quem′− g = 13 (mg ).

b. En déduire la nature de la transformation f et ses éléments caractéris- tiques.

c. Placer sur la figure l’image A′B′C′ du triangle ABC par la transformation f .

d. Déterminer le rapport des aires de ces deux triangles.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

On considère deux points distincts donnés F et F′ du plan orienté. On note O le milieu de [FF′] et ∆ la médiatrice de ce segment. On pose c = OF. On note A et B les points de ∆ tels que OA = OB = c. On note s la symétrie centrale de centre F et r la rotation de centre F et d’angle dont

une mesure est π

2 .

Soient D et D′ les droites symétriques de ∆ par rapport à F et F′. Ces différents éléments sont placés sur la figure ci-dessous. Il convient de reproduire cette figure sur la copie.

1. a. On considère les points P = r (A) et Q = s(A). Prouver que r (Q) = B.

Déterminer la nature du quadrilatère APQB et tracer ce quadrilatère sur la figure.

b. Déterminer les images respectives du segment [AB] par s, par r et par r s.

c. À tout point N du segment [AB], on associe les points H = s(N), I = r (N), et J = r (H) = (r s)(N).

Déterminer la nature du quadrilatère NIHJ et tracer ce quadrilatère sur la figure.

2. On note Γ le cercle de centre N et de rayon NI.

a. Montrer que pour tout point M du plan,

MH2+MN2 = 2 (

MF2+NF2 )

.

b. En déduire que Γ est l’ensemble des points M du plan vérifiant

MH2−2MF2 = 0.

3. On note K la projection orthogonale de H sur ∆ et on pose α=ON où

06α6 c.

Exprimer NK en fonction de α, puis NF et NI en fonction de α et de c.

En déduire que le cercle Γ coupe la droite (HK) en deux points M1 et M2 dis- tincts ou confondus.

4. Prouver que M1F M1H

= 1 p 2 .

En déduire que lorsqueNparcourt le segment [AB], les pointsM1 etM2 appar- tiennent à une ellipse E dont F est un foyer et dont on précisera l’excentricité et la directrice associée à F. Placer les sommets de E et tracer cette ellipse.

Centres étrangers 2 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

D D′∆

bb b

b

b

b

b

OF F′

B

A N

H

PROBLÈME 11 points

Soit k un nombre réel. On considère la fonction fk définie sur [0 ; 1] par :

fk (x)= x(lnx) 2+kx si x > 0 et fk (0)= 0.

OnnoteCk la courbe représentative de la fonction fk dans le plan rapporté au repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 10 cm).

On note I, J et L les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).

Partie 1 - Étude des fonctions fk

A. Dans cette question k = 0. Étude et représentation de f0.

1. Signe de la dérivée

a. Calculer la dérivée f ′0 de f0 sur ]0 ; 1] et montrer que f ′ 0(x) peut s’écrire

sous la forme :

f0(x)= (lnx)(lnx+2).

b. Déterminer les solutions de l’équation f0(x)= 0 sur ]0 ; 1].

c. Étudier le signe de f ′0(x) sur ]0 ; 1].

2. Étude à l’origine

a. Déterminer la limite de lnu p u

puis de (lnu)2

u lorsque u tend vers +∞.

b. En déduire que x(lnx)2 tend vers 0 quand x tend vers 0, puis que f0 est continue en 0.

c. Déterminer la limite de f0(x)

x lorsque x tend vers 0.

En déduire la tangente en O à la courbe C0.

3. Tracé de la courbe C0

a. Dresser le tableau des variations de f0.

b. Tracer la courbe C0.

B. Étude de fk

Centres étrangers 3 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Dérivée de fk

a. Calculer fk (x) sur ]0 ; 1].

b. Soit Ak le point de Ck d’abscisse 1. Montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk ).

2. Étude à l’origine

a. Établir que fk est continue en 0.

b. Déterminer la tangente à Ck en O.

On ne demande pas d’étudier les variations de fk .

C. Étude et représentation de f1 et f1/2

1. Étude de f1et tracé de C1

a. Prouver que pour tout x ∈]0 ; 1], f ′1(x)= (lnx+1) 2.

b. Déterminer la position relative des courbes C0 et C1.

c. Établir le tableau de variation de f1 et tracer C1 sur le même graphique que C0 en précisant le coefficient directeur de la tangente T1 à C1 au point A1.

2. Étude de f1/2 et tracé de C1/2

a. Prouver que pour tout x ∈ [0 ; 1],

f1/2(x)= f0(x)+ f1(x)

2 .

b. En déduire une construction de C1/2 à partir de C0 et C1 et tracer C1/2 sur le même graphique que C0 et C1 en précisant la tangente T1/2 à C1/2 au point A1/2.

Partie II - Partage du carré OILJ en quatre parties de même aire

Soit α un nombre réel tel que 0<α6 1.

1. Calcul d’une intégrale

On pose : I (α)= ∫1

α

x(lnx)2 dx.

a. Prouver, en effectuant une intégration par parties, que :

I (α)=− α 2

2 (lnα)2−

∫1

α

x lnx dx.

b. En effectuant à nouveau une intégration par parties prouver que :

I (α)=− α 2

2 (lnα)2+

α 2

2 lnα+

1

4 − α 2

4 .

c. Déterminer la limite I de I (α) lorsque αtend vers 0.

2. Calcul d’aires

a. On pose : Sk (α)= ∫1

α

fk (x)dx.

Exprimer Sk (α) en fonction deα. En déduire la limite Sk de Sk (α) quand α tend vers 0.

On admettra que cette limite représente l’aire (exprimée en unités d’aire) du domaine plan limité par la courbe Ck , l’axe (Ox) et la droite d’équa- tion x = 1.

b. En déduire que les courbes C0, C1/2 et C1 partagent le carré OIU en quatre parties de même aire.

Centres étrangers 4 juin 1996

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