Exercitation – sciences mathèmatiques 1, Exercices de Techniques de calcul. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercitation de sciences mathématique 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de répartition de Y, les racines dans C de l’équation.
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[ Baccalauréat C Aix-Marseille septembre 1980 \

EXERCICE 1

On considère un dé cubique dont les faces portent les nombres (−2), (−2), 1, 1, 1, a. Chaque face a la même probabilité d’apparition.

1. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque lancer du dé fait corres- pondre le nombre apparu. Donner la loi de probabilité p de X, suivant les va- leurs de a. Déterminer l’espérance mathématique de X ; pour quelle valeur de a est-elle nulle ?

2. Dans cette question on suppose que a = 1 ; on lance le dé trois fois de suite et on désigne par Y la variable aléatoire qui à chaque épreuve fait correspondre la somme des trois nombres apparus. Déterminer la loi de probabilité q de Y. Déterminer la fonction de répartition de Y.

EXERCICE 2

Soit z0, z1, z2 les racines dans C de l’équation g (z)= 0 avec

g (z)= z3−10iz2−4(3−4i)z+40(4+3i).

1. Sachant que z0 est imaginaire pur (z0 = iex , ex ∈ R), déterminer f (z) telle que (zz0) f (z)= g (z).

En déduire le calcul de z1 et z2 (on notera z1 celle des racines qui a sa partie réelle positive).

2. On désigne parM1,M2 etM3 les images respectives dans le plan complexe de z0, z1 et z2.

a. Déterminer l’affixe de l’isobarycentre du triangleM0M1M2.

b. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S qui laisse M0 invariant et telle que M2 = S (M1).

PROBLÈME

Partie A

On rapelle que l’ensemble M2 des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels, muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R, le même ensemble muni de l’addition et de la multiplication des matrices est un anneau unitaire ; on notera e et 1 respectivement lamatrice nulle et lamatrice unité.

1. Étant donné l’élément A =

(

1 3 0 −2

)

de M2, on considère l’ensemble

E= {

M/M ∈M2, ∃(a, b) ∈R 2, M = aA+bI.

}

a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M2 dont une base est (A, I).

b. Vérifier que A2 = −A+ 2I ; en déduire que la multiplication est une loi de composition interne dans E et que E muni de l’addition et de la mul- tiplication des matrices est un anneau commutatif unitaire, que A est inversible et que A−1 appartient à E.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. a. Vérifier que dans E l’équation X2= X admet quatre solutions, la matrice nulle θ, la matrice unité I, et deux autres matrices P et Q que l’on expri- mera dans la base (A, I).

On désignera par P celle qui est de la forme k(A - I), k ∈R.

Vérifier que PQ = QP = θ et que P + Q = I. Déterminer les coefficients des matrices P et Q.

b. Démontrer que (P, Q) est une base de E. Comment s’expriment I, A, le produit des matrices M = αP + βQ et M’ = α′P + β′Q, la matrice Mn dans cette base.

c. Démontrer que M = αP + βQ est inversible si, et seulement si, αβ 6= 0. Exprimer alors M−1 dans la base (P, Q).

3. Démontrer que dans E l’équation X 2 = I admet quatre solutions I, −I et deux autres solutions S et −S que l’on exprimera dans la base (P, Q). Déterminer les coefficients des matrices S et −S.

4. Soit π un plan vectoriel muni d’une base (

−→ ı ,

−→

)

et soit g l’endomorphisme

de π dont la matrice dans cette base, est G = 1

2 P +

1

3 Q.

−→ V0 étant un élément de π et, ∀k ∈N,

−−−→ Vk+1 = g

(

−→ Vk

)

, on pose

−−→ Wk =

n

k=0

−→ Vk .

Calculer les coordonnées un et vn de −−→ Wn en fonction de x0 et y0, coordonnées

de −→ V0 , et de n.

Quelles sont les limites de un et vn lorsque n tend vers l’infini.

Partie B

On rappelle que l’ensemble F des applications de R vers R muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel de R. On considère les deux éléments de F , u et v définis par

x ∈R, u(x)= e− x 2 , v(x)=−xe−

x 2 .

1. On considère l’ensemble

E = {

f ∈F , ∃(α, β) ∈R2, f =αu+βv }

.

a. Montrer queE est un sous-espace vectoriel deF dont unebase est (u, v).

b. On note d et l les applications définies par

f ∈ E , d( f )= f ′ fonction dérivée

l( f )= f ′+βv si f =αu+βv.

Montrer que d et l sont des endomorphismes de E , dont on déterminera les matrices respectives D et L dans la base (u, v).

Vérifier que L =

(

1 0 0 −1

)

·D. En déduireD−1, puis que tout élément de E

admet une primitive dans E .

2. a. Étudier les variations de la fonction f , élément de E définie par

x ∈R, f (x)= (1− x)e− x 2 .

Tracer sa courbe représentative dans un plan affine euclidien P rapporté

à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Aix-Marseille 2 septembre 1980

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. Déterminer l’aire A (λ) de la portion du plan P, ensemble des points M dont les coordonnées vérifient

{

1 6 x 6 λ f (x) 6 y 6 0

λétant un réel supérieur à1

Calculer lim λ→+∞

A (λ).

Aix-Marseille 3 septembre 1980

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