Exercitation – sciences mathèmatiques 11, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan complexe (P), Étudier les variations sur l’intervalle.
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[ Baccalauréat C Bordeaux septembre 1980 \

EXERCICE 1

1. Décomposer le nombre entier 469 en produit de facteurs premiers.

2. Trouver tous les couples (x ; y) d’entiers positifs tels que x3− y3 = 469.

EXERCICE 2

Le plan complexe (P) étant rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, on consi-

dère :

le point M d’affixe z = x+ iy ; x et y réels ;

le point M ′ d’affixe z ′ = x+4iy ;

le point A d’affixe −7 ;

le point B d’affixe 5.

Quelles conditions doit vérifier z pour que l’on ait M 6= A etM ′ 6= B? Ces conditions étant remplies, on appelle (D) la droite contenant les points A et M et (D′) la droite contenant les points B et M ′.

1. Montrer que (D) est parallèle à (D′) si, et seulement si, z+7

z ′−5 ∈R⋆.

En déduire l’ensemble (C1) des points M tels que les droites (D) et (D′) soient parallèles. Construire (C1).

2. Déterminer, de la même manière, l’ensemble (C2) des points M tels que les droites (D) et (D′) soient perpendiculaires. Construire (C2).

PROBLÈME

Partie A

1. a. Étudier les variations sur l’intervalle [

0 ; π

4

]

de la fonction f : x 7−→ tg3x.

b. Démontrer que cette fonction admet une fonction réciproque g , définie sur un intervalle J à préciser. Montrer que la fonction g est dérivable en tout point y ∈ J, y 6= 0, et calculer g ′(y) en fonction de y . (Ce calcul n’est pas nécessaire pour traiter la suite du problème.)

c. Tracer sur unmême graphique les courbes représentatives des fonctions f et g (dans un plan affine euclidien, muni d’un repère orthonormé). Préciser les demi-tangentes aux courbes aux extrémités des intervalles de définition.

2. a. Montrer que la fonction x 7−→ Log cosx est définie sur [

0 ; π

4

]

, et est dé-

rivable sur cet intervalle. Calculer sa dérivée.

b. Quelle est la dérivée de la fonction x 7−→ tg2x sur [

0 ; π

4

]

?

c. Calculer l’aire de l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) sont telles que

06 x 6 π

4 , 06 y 6 f (x).

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

d. En déduire la valeur de ∫1

0 g (y)dy . (On pourra utiliser un argument géo-

métrique ; il n’est pas demandé de trouver une primitive de la fonction g .)

Partie B

1. a. Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle [

0 ; π

4

]

par

x ∈ [

0 ; π

4

]

ϕ(x)= 4

π x− tg x.

Montrer que la fonctionϕ est dérivable sur [

0 ; π

4

]

et qu’il existe ununique

réel et α ∈ [

0 ; π

4

]

tel que ϕ′(α)= 0.

Étudier le sens des variations de ϕ sur [

0 ; π

4

]

et en déduire l’inégalité

x ∈ [

0 ; π

4

]

tg x 6 4

π x.

b. Pour n entier supérieur ou égal à 1, posons In = ∫ π

2

0 tgn xdx. Montrer que

In 6 π

4(n+1) pour tout n. Quelle est la limite de la suite (In )n∈N⋆ ?

2. On considère la suite (In )n∈N⋆ définie au B 1. b.

a. Calculer I1, I2.

b. SoitU une fonction dérivable sur R. Montrer que la fonction V , définie

sur [

0 ; π

4

]

parV (x)=U (tgx) est dérivable, et exprimer sa dérivée à l’aide

de celle deU .

c. Pour n entier supérieur ou égal à 3, calculer

π

4

0

(

tgn−2x+ tgnx )

dx.

En déduire que In =−In−2+ 1

n−1 pour tout n> 3.

d. Soit (vk )k∈N⋆ la suite de nombres réels définie pour k entier, k > 1, par

vk = 1− 1

2 + 1

3 − 1

4 +·· ·+

1

2k−1 −

1

2k (

donc v1 = 1− 1

2 , v2 = 1−

1

2 + 1

3 , etc

)

.

Déduire de B 2. c., que pour tout entier n> 5, on a

In = In−4+ 1

n−1 −

1

n−3

et en conclure que pour tout entier k > 1

I4k+1 = I1− 1

2 vk .

Montrer que la suite (vk )k∈N⋆ tend vers une limite que l’on déterminera.

Bordeaux 2 septembre 1980

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