Exercitation – sciences mathèmatiques 12, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, le système.
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[ Baccalauréat C Caen juin 1980 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Soit f la fonction de R dans R définie par :

f (x)= (log |x|)2+ log |x|+1.

a. Trouver la limite de f (x)

x quand x tend vers plus l’infini (on pourra étu-

dier d’abord la limite éventuelle de logx p x

lorsque x tend vers plus l’infini).

b. Étudier f et tracer sa courbe représentative dans un plan affine euclidien

rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

2. Soit ǫ ∈]0 ; 1[. On appelle A (ǫ) l’aire de l’ensemble des points M dont les co- ordonnées (x ; y) vérifient

{

ǫ 6 x 6 1 0 6 y 6 f (x).

Calculer A (ǫ). Montrer que A (ǫ) a une limite finie quand ǫ tend vers 0.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Résoudre dans R×Z l’équation :

5x−11y = 4.

2. Résoudre dans Z, le système :

{

3z ≡ 1 [5] 7z ≡ 9 [11].

PROBLÈME 12 POINTS

Soit P un espace vectoriel euclidien orienté rapporté à une base orthonormée di-

recte B = (−→ ı ,

−→ )

. On munira L (P ), ensemble des endomorphismes de P , de sa

structure usuelle d’espace vectoriel sur R.

SiM = (

α γ

β δ

)

, on notera dans tout le problème t(M) le réel α+δ.

On appellera E l’ensemble des endomorphismes de P dont la matrice dans la base

B est de la forme

(

a b

b c

)

a, b, c sont des réels quelconques.

Partie A

1. Soit f1, f2, f3 les endomorphismes de P de matrices respectives dans la base B ;

(

1 0 0 0

)

,

(

0 1 1 0

)

,

(

0 0 0 1

)

Montrer que E est un sous-espace vectoriel deL (P ) de base (

f1, f2, f3 )

. Est-il stable pour la composition des applications ?

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. Soit T : f 7−→ t(M) de E dans R où M est la matrice de f relativement à B . Démontrer que le noyau de T est un plan vectoriel F de E .

3. Soitϕ : ( f , g ) 7−→ t(MN ) de E×E dansR, M etN étant lesmatrices respectives de f et g dans B .

Démontrer que ϕ est un produit scalaire.

Dans la suite du problème, E sera muni de la structure euclidienne définie par ϕ.

4. Déterminer une base orthonormée B ′ = (

g1, g2, g3 )

de E telle que (

g1, g2 )

soit une base de F .

Partie B

Soit λ un réel. On appelle θλ l’endomorphisme de E dont l’expression analytique dans la base B ′ est

x′ = 1

3 [λx−2y + (λ+1)z]

y ′ = 1

3 [(λ+1)xλy −2z]

z ′ = 1

3 [2x+ (λ+1)y +λz]

1. Démontrer que pour tout λ réel, θλ est bijectif. Déterminer les valeurs de λ pour lesquelles θλ est une isométrie vectorielle de E .

2. Démontrer que si λ=−2, θλ est une rotation vectorielle. Donner son axe et un couple de vecteurs représentant son angle. (On pourra supposer (E , ϕ) orienté par la base B ′).

Partie C

Pour tout vecteur −→ u non nul deP , on appelle s−→

u la symétrie vectorielle orthogonale

de P par rapport à la droite de base −→ u . I désigne l’application identique de (P ).

1. Montrer que s−→ u E et calculer ϕ

(

s−→ u , I )

.

2. Soit (−→ u ,

−→ v )

un couple de vecteurs non nuls deP , on désigne par α l’angle du

couple de vecteurs (−→ u ,

−→ v )

; exprimer ϕ (

s−→ u , s−→

v

)

en fonction de cosα.

3. −→ u étant un vecteur non nul fixé, déterminer les vecteurs

−→ v tels que

ϕ (

s−→ u , s−→

v

)

= 0 et le nombre de symétries s−→ v correspondantes.

4. Déterminer une base de l’orthogonal, dans E , de la droite de base s−→ u .

Caen 2 juin 1980

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