Exercitation – sciences mathèmatiques 14, Exercices de Techniques de calcul

Exercitation – sciences mathèmatiques 14, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature géométrique de g, l’application de C dans C.
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[ Baccalauréat C Clermont–Ferrand juin 1980 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Le plan affine euclidien P est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Les points

A, B, C, A′, B′ et C′ de ce plan ont respectivement pour coordonnées dans ce repère

A(3 ; 1), B(3 ; −1), C(2 ; 1), A′(2 ; 5), B′(4 ; 3), C′(1 ; 4).

1. Prouver rapidement, en utilisant les résultats du cours, qu’il existe une appli- cation affine unique g , de P dans P, telle que les images par g des points A, B et C soient respectivement les points A′, B′ et C′. Trouver, en fonction des coor- données (x ; y) d’un pointM de P, les coordonnées du point g (M), image deM par g . Déterminer le point invariant I de g . Quelle est la nature géométrique de g ?

2. Déterminer le barycentre des points I, A, B affectés respectivement des coeffi- cients 6, 1, 1. En déduire le barycentre des points I, A′, B′ affectés des mêmes coefficients respectifs.

EXERCICE 2 4 POINTS

On désigne par f l’application de C dans C telle que, si i ∈C, i2 =−1,

z ∈C), f (z)= z2− (5+3i)z+10+5i.

1. Résoudre, dans C, l’équation f (z)= 0.

2. On désigne par P un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

. À tout point M de ce plan, dont les coordonnées sont (x ; y) dans

le repère précédent, on associe le nombre complexe z = x+ iy affixe de M .

Déterminer l’ensemble F des points M du plan P dont l’affixe z est telle que f (z) soit imaginaire pur.

Déterminer avec précision les éléments géométriques de F .

PROBLÈME 13 POINTS

Dans tout ce problème, on désigne par P un plan affine euclidien rapporté à un re-

père orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, l’unité de longueur étant égale à 4 centimètres.

1. Étudier les variations des fonctions f et g , de R dans R, telles que

f (x)= x2−x et g (x)= x−12x .

Pour étudier les limites des fonctions f et g , on posera v = x log2.

2. On rappelle que log2≈ 0,69. Tracer dans P les courbes F et G représentatives des fonctions f et g respectivement.

3. Trouver une primitive de f à l’aide d’une intégration par parties.

En déduire l’aire A(u) de la partie du plan P limitée par la courbe F, par l’axe des x et par les droites qui ont pour équations respectives, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, x = 0 et x =u u ∈R+.

(On prend comme unité d’aire l’aire d’un carré dont les côtés ont pour lon- gueur l’unité de longueur).

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

4. Trouver une équation de la tangente à la courbe F au point A de cette courbe

qui a pour abscisse x = 2

log2 .

Calculer la différence entre l’ordonnée y d’un point S de F et l’ordonnée yT du point T de la tangente en A à F qui a la même abscisse x que S. Étudier les variations de l’application de R dans R :

h : x 7−→ y yT .

En déduire que F traverse sa tangente en A.

5. Un mobile M parcourt la courbe F du plan P de manière que l’abscisse de M soit égale au temps t : x = t .

Déterminer, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, les composantes du vecteur vitesse −→ v

deM à l’instant t et celles du vecteur accélération −→ Γ deM à l’instant t .

Calculer le produit scalaire −→ v ·

−→ Γ .

Pour quelles valeurs de t ce produit est-il nul ?

6. Quels sont les ensembles J , K , L,W , formés par les entiers relatifs n tels que, respectivement,

a. f (n) soit un élément de Z ;

b. f (n) soit le carré d’un entier naturel ;

c. g (n) soit un élément de Z ;

d. g (n) soit le carré d’un entier naturel ?

Clermont–Ferrand 2 juin 1980

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