Exercitation – sciences mathèmatiques 15, Exercices de Techniques de calcul

Exercitation – sciences mathèmatiques 15, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'entier naturel, le nombre réel strictement positif, les affixes.
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[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1981\

EXERCICE 1 3 POINTS

n désigne un entier naturel.

1. Étudier suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 7n par 9.

2. Démontrer que, quel que soit n, 7n +12n−1 est divisible par 9.

EXERCICE 2 5 POINTS

Le symbole ln désigne le logarithme népérien. (Les candidats peuvent toutefois, s’ils le désirent le remplacer par log). Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= ln e2x +5

ex −2

sur l’ensemble E des points de R pour lesquels cette expression a un sens. (C ) est la courbe représentative de la fonction f , construite relativement à un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. a. Quel est l’ensemble E de définition de la fonction f ?

b. Étudier le sens des variations de f , ainsi que ses limites éventuelles aux bornes de l’ensemble E .

c. On pose pour tout x appartenant à E :

ϕ(x)= f (x)− x.

Étudier la limite éventuelle de ϕ(x) lorsque x tend vers +∞, ainsi que le signe de ϕ(x). Que peut-on en conclure pour (C ) ?

d. Tracer (C ).

2. Soit A l’image de ]ln2 ; ln5[ par f et F l’application de ]ln2 ; ln5[ sur A, définie pour tout x appartenant à ]ln2 ; ln5[ par F (x)= f (x).

Montrer que E admet une application réciproqueG dont on précisera les pro- priétés : sens des variations, continuité, dérivabilité.

Tracer sur la même figure que (C ) la courbe représentative deG.

PROBLÈME 12 POINTS

Tout au long du problème les résultats qui seront obtenus par des raisonnements évitant des calculs superflus seront spécialement appréciés par le correcteur.

Le plan affine euclidienorientéE est rapporté à un repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

.

(On rappelle que, dans E , chaque angle α de vecteurs est associé à un nombre réel unique t de l’intervalle ]−π ; +π] qui est appelé sa détermination principale, ou sa mesure principale, qui vérifie cosα= cos t , sinα= sin t , et qui permet de le caracté- riser. On rappelle également que chaque angleα′ de droites est associé à un nombre réel unique de l’intervalle ]−π ; +π] qui est encore appelé sa détermination princi- pale ou samesure principale, et qui est la détermination principale de l’un des deux angles de vecteurs qui représentent α′). Dans tout le problème

a est un nombre réel strictement positif,

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

A est le point de E de coordonnées (a ; 0),

D est la droite d’équation x = a,

f est une fonction réelle strictement positive de la variable réelle t , définie sur l’intervalle ]−π ; +π].

Les affixes sont prises relativement au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Pour chaque valeur du paramètre t , on note st , l’application de E dans E qui à tout point M d’affixe z fait correspondre le point Mt = st (M) d’affixe zt , telle que

zt = f (t)(cos t + i sin t)z.

Partie A

Quelle est la nature de l’application st ? Quels sont les éléments géométriques qui la caractérisent ?

Donner les équations qui la définissent analytiquement par rapport au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Donner également les équations qui définissent analytiquement s−1t .

Partie B

Dans toute cette partie, la fonction f est définie pour tout t appartenant à ]

π

2 ; π

2

[

par f (t)= 1

cos t .

1. Montrer que si M est distinct de O, alors, pour tout t appartenant à ]

π

2 ; π

2

[

le triangle OMMt est rectangle en M . Quel est l’ensemble J (M) décrit par le

point Mt , lorsque t décrit l’intervalle ]

π

2 ; π

2

[

, le point M restant fixe ?

2. Montrer que l’image deDpar st , est une droiteDt , dont on donnera une équa- tion cartésienne dépendant seulement des paramètres a et tan t .

Montrer que la parabole P de foyer O, dont la tangente au sommet est D, a pour équation

y2 = 4a(ax).

Montrer que pour tout t appartenant à l’intervalle ]

π

2 ; π

2

[

, l’intersection de

Dt et de P est formée par un point unique K, et que Dt est tangente à P en ce point.

Montrer que lorsque t décrit l’intervalle ]

π

2 ; π

2

[

, décrit toute la parabole P.

3. On note C un cercle de centre A, dont le rayon R est strictement positif et différent de a. On désigne par Γ la conique définie relativement au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

par l’équation

(xa)2

R2 +

y2

R2−a2 = 1.

Indiquer suivant les valeurs de R, la nature de la conique Γ. Déterminer son centre et ses foyers.

Déterminer le centre et le rayon du cercleCt , image deC par st .

Montrer que Ct est défini par l’équation :

(xa)2+ (y a tan t)2 =R2(1+ tan2 t).

Montrer que lorsque Ct et Γ se coupent, leur intersection est formée de deux points Nt et N t symétriques par rapport à D et on calculera l’ordonnée.

Clermont-Ferrand 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Partie C

Dans toute cette partie, la fonction f est définie pour tout t appartenant à l’intervalle ]

π

2 ; π

2

[

par f (t)= cos t .

On pose toujours Mt = st (M).

1. Montrer que lorsque M est distinct de O, le triangle OMMt est rectangle en Mt .

Quel est l’ensemble décrit par Mt , lorsque t décrit l’intervalle le point M res- tant fixe ?

2. On prend t 6= 0, on pose At = st (A). Donner la détermination principale de l’angle de droites défini par le couple (AM), (At , Mt )).

Soit Ht le point d’intersection des droites (AM) et (At , Mt ).

Montrer que les points 0, Ht , A, At sont cocycliques.

Montrer que les points 0, Ht M , Mt sont cocycliques.

Quelle est la projection orthogonale de O sur la droite (AM) ?

3. Soit Dt , l’image deDpar st .Montrer que lorsque t varie , Dt passe par un point fixe.

Clermont-Ferrand 3 juin 1981

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