Exercitation – sciences mathèmatiques 2, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définir un espace probabilisé fini, Quelle est la loi de probabilité de X ?
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[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1980 \

EXERCICE 1 4 POINTS

E désigne un espace affine euclidien de dimension trois. La distance entre deux points quelconques M et N de E est notée MN.

1. Soit trois points A, B et C non alignés et le point I défini par −→ AI =

−−→ AB +

1

2

−−→ AC .

De quels coefficients a, b, c faut-il affecter respectivement les points A, B, C pour que I soit leur barycentre ?

2. On suppose désormais que le triangle ABC est rectangle en A et AB = 2 et

AC = 1.

On pose S = {

M/M ∈ E, MA2−2MB2−MC2 =−3 }

.

Démontrer que S est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

EXERCICE 2 4 POINTS

Deux amis A et B organisent un jeu comprenant cinq parties. Ils décident de disputer une partie par jour, durant cinq jours. Á chaque partie, il y a un gagnant et un perdant. Chaque jour, la probabilité que A gagne est 0,6. Celui qui remporte le plus grand nombre de partie est déclaré vain- queur.

1. Définir un espace probabilisé fini (Ω0,B0,P0) associé à chacune des parties.

2. Associer au jeu un nouvel espace probabilisé fini (Ω,B,P ) et introduire une variable aléatoire réelle X dont l’image est égale au nombre de parties gagnés par A au cours du jeu.

a. Quelle est la loi de probabilité de X ?

b. Quelle est la probabilité que A ne soit pas vainqueur à ce jeu ?

PROBLÈME 12 POINTS

Partie I

λ est l’application de R dans R définie par

x ∈R, λ(x)=−x2e−x .

1. Étudier λ. On admettra que ex

x2 tend vers l’infini quand x tend vers l’infini.

2. Construire la courbe Γ représentative de λ dans le plan muni d’un repère or- thonormé.

3. L’étude des variations de λ fait apparaître trois intervalles sur lesquels le fonc- tion est monotone ; soient D1, D2 et D3 ces intervalles avec ∀(x1, x2, x3) ∈ DDD3, x1 6 x2 6 x3.

En notant D ′1, D

2 et D

3 les images par λ de D1, D2 et D3, démontrer que les trois applications λi (i ∈ {1, 2, 3})

λi : Di D

i x 7−→ λ(x)

sont des bijections.

Étudier les réciproques µi =λ−1i .

1. Aix-Marseille - Nice - Corse - Montpellier - Toulouse

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Partie II

α étant un nombre réel, on définit une application de R dans R par ?x ? R,

(x)= x 2 +αex .

On noteCα sa représentation graphique dans le planmuni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Démontrer que pour tout pointM duplan, de coordonnées a et b, il passe une et seulement une, courbe Cα.

2. Démontrer que ceux des nombres µ1(α),µ2(α) et µ3(α) qui existent pour une valeur donné de α, sont les abscisses des points communs à Cα et à la droite

définie par O et −→ ı .

3. Soit J l’intervalle [

−4e−2 ; 0 [

.

a. Montrer que µ1(α),µ2(α) et µ3(α) existent simultanément si, et seule- ment si, α appartient à J .

b. Étudier les variations de pour une valeur quelconque de α apparte- nant à J .

(Pour étudier le signe de la fonction dérivée f α on sera amené à étudier celui de f ′′α ). Dessiner une ébauche de Cα.

4. On pose :

α J , I (α)= ∫µ3(α)

µ1(α) (x)dx.

a. Vérifier que : ∀x ∈R, f α(x)− (x)= 2xx 2.

b. Vérifier que : ∀x ∈R, I (α)=

[

1

3 µ33(α)−µ

2 3(α)

]

[

1

3 µ31(α)−µ

2 1(α)

]

.

c. En déduire que ∀x J , I (α)> 1

3 µ33(α)−µ

2 3(α).

Quel est le signe de I (α) si α est tel que µ3(α)= 3 ?

d. Donner une interprétation géométrique de I (α). Quel est le signe de

I (

−4e−2 )

?

e. En utilisant cette interprétation, établir que I est une application stricte- ment croissante.

f. Combien d’éléments contient l’ensemble {α/α J , I (α)= 0} ?

Aix-Marseille 2 juin 1980

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