Exercitation – sciences mathèmatiques 3, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé, Démontrer que l’équation P(z) = 0 a une soluti...
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[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1980 \

EXERCICE 1

Soit A l’ensemble des réels x tels que cosx = 0. On considère la fonction f de R dans R définie par

{

x ∈R−A, f (x) = e 1

cosx

x ∈ A, f (x) = 0

Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On montrera en particulier que la courbe admet au point d’abscisse π

2 une demi-

tangente que l’on précisera (

on pourra poser x = π

2 +h

)

.

EXERCICE 2

On considère l’application P de C dans C définie par

P (z)= z3−3z2+ (9+5i)z−2−10i

pour tout z ∈C.

1. Démontrer que l’équation P (z)= 0 a une solution imaginaire pure. 2. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0.

PROBLÈME

Dans tout le problème, on note I l’intervalle ]−1 ; +1[ de R.

Partie A

1. u étant un élément de I, on appelle ϕ l’application de I dans R telle que, pour

tout x de I, ϕ(x)= x+u 1+ux

.

Donner le tableau de variations de ϕ.

2. Pour u et v éléments de I, on note

uv = u+ v 1+uv

.

Démontrer que⊕ est une loi interne dans I, et qu’elle confère à I une structure de groupe commutatif.

3. Pour u élément de I, on note Pu la matrice

1 p 1−u2

u p 1−u2

u p 1−u2

1 p 1−u2

Démontrer que PuPv =Puv , pour (u, v) élément de I2. En déduire la structure de l’ensemble des matrices Pu u est élément de I, muni de la multiplication des matrices.

Partie B

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

P est un plan affine euclidien, rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit M0(y p 2 ; 0). Pour tout u de I, on note Mu le point de coordonnées

p 2

p 1−u2

; u p 2

p 1−u2

1. Démontrer que l’ensemble Γ des points Mu avec u élément de I est une partie d’une conique C. Représenter C. Préciser Γ.

2. a. Onappelle −→ ı ′ et

−→ ′ les images respectives de

−→ ı et

−→ par la rotation vecto-

rielle d’angle de mesure − π

4 . Démontrer que, dans le repère

(

O, −→ ı ′ ,

−→ ′ )

,

Γ est la représentation graphique de la fonction numérique F définie sur ]0 ; +∞[ par

F (x)= 1

x .

b. Pour tout élément u de I, on note A (u) l’aire de la partie du plan limitée par le segment de droite [0, M0] l’arc de Γ d’extrémités M0 et Mu et le segment de droite [Mu , O].

On se propose d’établir que, pour tout u de I,

A (u)= 1

2 log

(

1+|u| 1−|u|

)

.

Démontrer ce résultat pour u ∈ [0 ; 1[, puis sans aucun autre calcul, pour u ∈]−1 ; 0].

c. Démontrer que, pour u et v éléments de [0, ; 1[,

A (uv)=A (u)+A (v).

3. a. Étudier les variations et tracer la représentation graphique de la fonction numérique A définie sur I par u 7−→A (u).

b. Démontrer que A définit une bijection de [0 ;1[ sur R+. On appelle f cette bijection. Tracer la représentation graphique de sa bijection réci- proque notée f −1. Calculer f −1(x) pour tout élément x de R+.

c. On considère la suite (αn ) , n N⋆, définie par

α1 = α−1 α+1

et ∀n ∈N⋆, αn+1 =αn +α1.

Calculer, en fonction de n,A (αn), puis αn , pour tout n deN⋆. Étudier la convergence de la suite (αn )n∈N⋆ .

Amérique du Nord 2 juin 1980

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