Exercitation – sciences mathèmatiques 4, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite réelle, la variation et la convergence de la suite.
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[ Baccalauréat C Amérique du Sud juin 1981 \

EXERCICE 1

On considère la suite réelle définie par

{

u1 = 1 5un+1 = un +8 pour toutn> 1.

On pose vn = un −2. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. En déduire un en fonction de n. Étudier la variation et la convergence de la suite (un ).

EXERCICE 2

Dansun repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

duplan affineE , ondonne les points A

(

2

3 ; 0

)

et B(1 ; −1). On considère l’application S de E dans lui-même qui, à tout point M associe M

ainsi défini : M1 est l’image de M par la rotation de centre A et dont une mesure de

l’angle est π

2 , puis M ′ est l’image de M1 par l’homothétie de centre B et de rapport

3.

1. E étant identifié au plan complexe, on note z l’affixe du point M , z1 celle de M1, z ′ celle deM ′.

Exprimer z ′ en fonction de z.

Déterminer la nature de S et ses éléments caractéristiques.

2. Soit (P) la parabole dont une équation est y2− 8

3 x = 0.

3. Montrer que l’image de (P) par l’application S est une parabole (P′) dont on donnera l’équation.

PROBLÈME

Partie A

On considère l’ensemble A des matrices Aa de la forme

(

a 0 0 1

)

a est un réel

strictement positif. Montrer que l’ensembleA est un groupe commutatif pour lamultiplication desma- trices, isomorphe à

(

R ⋆

+, × )

.

Partie B

Soit E2 un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Pour

tout nombre réel strictement positif a, on considère l’application affineTa dont l’en- domorphisme associé a pour matrice Aa et qui associe au point O le point O′ de coordonnées (0 ; Log a), où Log désigne la fonction logarithme népérien.

1. Si M = T (m), déterminer les coordonnées (X ; Y ) de M en fonction des coor- données (x ; y) dem.

2. Déterminer Ta Tb (où b est lui-même un nombre réel strictement positif).

En déduire que l’ensemble G des applications Ta muni de la composition des applications est un groupe commutatif.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Partie C

1. a. Soit g la fonction numérique de R vers R définie par

g (x)= ex −e−x

2 .

Étudier les variations de g .

b. On considère la fonction h de R vers R définie par

h(x)= g (x)− x.

Montrer queh est une fonction strictement croissante surR et que l’équa- tion h(x)= 0 n’a qu’une racine réelle.

c. Tracer la courbe représentative C de la fonction g dans le plan euclidien

E2 rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Déterminer la tangente à

C en son centre de symétrie et la position de C par rapport à cette tan- gente.

2. Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g−1 = f , définie par

f (x)= Log (

x+ p x2+a2

)

où Log désigne le logarithme népérien.

Préciser le domaine de définition de f et tracer la courbe représentative Γ de la fonction f .

Partie D

Soit fa la fonction de R vers R définie par

fa (x)= Log (

x+ √

x2+a2 )

a est un réel strictement positif ; on appelle Γa la courbe représentative de fa dans le repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que l’image de Γ1 par l’application Ta définie au B est la courbe Γa .

2. Soit a et b deux nombres réels strictement positifs.

Montrer que Γa se déduit de Γb par une application du groupe G, qu’on pré- cisera.

Partie E

Soit Sa l’application affine qui laisse le point O invariant et qui a le même endomor- phisme associé que Ta .

1. Déterminer une équation de Sa (Γ1).

2. Étudier la fonction Fa de la variable réelle x définie par x + Jx2+ a21

Fa (x)= Log

x+ p x2+a2

a

a est un paramètre réel positif.

3. Tracer Sa (Γ1) pour a = 2 et a = 1

2 .

En déduire le tracé de Γ2 et Γ 1 2 .

Amérique du Sud 2 juin 1981

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