Exercitation – sciences mathèmatiques 6, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation du second degré dans C, la fonction numérique de la variable réelle x.
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[ Baccalauréat C Amiens septembre 1980 \

EXERCICE 1

On considère trois entiers naturels non nuls a, b, c. Le plus grand commun diviseur de a et b est δ ; celui de b et c est δ′. Quel est le plus grand commun diviseur de a, b, c ? Sachant que δ = 12, δ′ = 18 et que a + b + c = 102, déterminer toutes les valeurs possibles des trois nombres a, b, c.

EXERCICE 2

On considère l’équation du second degré dans C

(

m2+1 )

z2+ [1− (2+ i)m]z+1+ i= 0,

m est un paramètre réel. On note z1 et z2 ses racines complexes avec |z1| < |z2|.

1. a. Vérifier que 1

m+ i est l’une des racines. Déterminer l’autre.

b. Montrer qu’il existe un couple unique (a;b) ∈C⋆×C, indépendant dem tel que : z2 = az1+b, z1 désignant le nombre complexe conjugué de z1.

2. Soit M1 et M2 les points du plan complexe d’affixes respectives z1 et z2.

a. Déduire de ce qui précède que M2 est l’image de M1 par une similitude indirecte unique dont on précisera les éléments.

b. Montrer que l’ensemble des points M1 d’affixe z1, m décrivant R, est le cercle (Γ) d’équation x2+ y2+ y = 0 privé de l’un de ses points et préciser ce point.

Déterminer, par ses coordonnées, le centre de ce cercle. En déduire l’en- semble des points M2 d’affixe z2 quandm varie.

PROBLÈME

Partie A

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= Log x p x

où Log x désigne le logarithme népérien de x.

1. Étudier les limites de f aux bornes de son intervalle de définition.

Étudier les variations de f et tracer la représentation graphique (C) de f dans

un plan rapporté au repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

où ∥

−→ ı

∥= 5mm et ∥

−→

∥= 25 mm.

2. Pour tout a élément de R⋆+, calculer l’intégrale

F (a)= ∫a

1 f (x)dx.

Déterminer lim a→0 a>0

F (a) et donner une interprétation géométrique du résultat.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Partie B

On considère dans cette partie les fonctions numériques f et g de la variable réelle x définies respectivement par

f (x)= Log x p x

et g (x)= 1 p x .

On note F l’espace vectoriel réel des applications de R⋆+ dans R et on désigne par E le sous-espace vectoriel de F engendré par la famille ( f , g ).

1. Montrer que ( f , g ) est une base de E.

2. Pour tout u élément de E et pour tout x élément de R⋆+, on définit u1 par : u1(x)= x ·u′(x). Vérifier que u1 appartient à E et montrer que l’application ϕ1 de E dans E définie, pour u élément de E, par ϕ1(u)=u1 est un endomorphisme de E. Vérifier que, dans la base ( f , g ), la matrice de ϕ1 est

M1 =

− 1

2 0

1 − 1

2

3. IdE désignant l’identité de E, déterminer l’unique réel λ pour lequel ϕ1+λIdE n’est pas bijectif.

Calculer ensuite

(

ϕ1+λIdE )2 =

(

ϕ1+λIdE )

◦ (

ϕ1+λIdE )

pour la valeur λ0 de λ ainsi obtenue.

4. Pour tout u appartenant à E, on note ϕ21(u)=ϕ1 (u1)= v1. Pour tout x appartenant àR⋆+, calculer v1(x) et montrer, après développement

de (

ϕ1+λIdE )2, que tout élément u de E vérifie, pour tout x élément de R⋆+

x2u′′(x)+2xu′(x)+ 1

4 u(x)= 0.

Partie C

E étant un espace vectoriel réel euclidien et ( f , g ) une base orthonormée de E, on définit, pour tout x appartenant à R, les applications u2 et u3 par

u2(x)= 1

x u

(

1

x

)

et u3(x)= Log x

2 (u(x)+u2(x))

1. Vérifier que u2 et u3 sont des éléments de E et que les applications ϕ2 etϕ3 de E dans E, définies, pour tout u élément de E, par

ϕ2(u)= 1

x u

(

1

x

)

et ϕ3(u)= Log x

2 (u(x)+u2(x))

sont des endomorphismes de E.

Donner les matricesM2 et M3 respectives de ϕ2 et ϕ3 dans la base ( f ; g ).

2. Quelle est la nature géométrique de ϕ2 ?

3. Soit Φ= 1+2+3 avec (a ; b ; c) ∈R3 ? a. Pour quelles valeurs de (a ; b ; c), Φ est-elle une rotation vectorielle ?

Dans chacun des cas obtenus, indiquer la matrice de Φ et les éléments caractéristiques de la rotation Φ.

Amiens 2 septembre 1980

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. Pour quelles valeurs de (a ; b ; c), Φ est-elle une symétrie vectorielle ?

Parmi celles-ci existe-t-il des symétries vectorielles orthogonales ? Éven- tuellement les préciser.

c. En rappelant qu’un projecteur p est caractérisé par p2 = p, pour quelles valeurs de (a ; b ; c), Φ est-elle une projection ?

N.B. - Pour les questions b. et c. ci-dessus, on ne précisera pas les éléments caractéristiques des endomorphismes Φ.

Amiens 3 septembre 1980

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