Exercitation – sciences mathèmatiques 7, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique de la variable réelle, l'espace affine euclidien.
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[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1980 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Démontrer que le carré de tout nombre entier impair est congru à 1 modulo 8.

2. Résoudre dansN×N l’équation y2 = 8x+1.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= 2x+2 (

2x −1 )

.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f .

2. Étudier les variations de la fonction f et tracer sa courbe représentative C

dans un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

3. Soit λ un réel strictement négatif. Calculer

A (λ)= ∫0

λ f (x)dx.

A (λ) a-t-elle une limite lorsque λ tend vers −∞ ? Si oui, déterminer cette li- mite.

PROBLÈME 13 POINTS

Soit E un espace affine euclidien orienté et soit R = (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

un repère ortho-

normé, direct de E . On considère le plan Π de E d’équation z = 0 dans R.

Partie A

u, v,h étant des réels tels que (u, v) 6= (0, 0), on considère la droite∆ deΠ d’équation

ux+ vy +h = 0 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Déterminer les coordonnées (

x′, y ′, z ′ )

du point M ′, image de M dans la pro- jection orthogonale sur la droite ∆, en fonction des coordonnées (x, y, z) de M .

2. On appelle distance du point M à la droite∆ et l’on note d(M , ∆) la norme du

vecteur −−−−→ MM ′ . Montrer que

d(M , ∆)=

(ux+ vy +h)2

u2+ v2 + z2.

Partie B

On considère les points A et B de E de coordonnées : A(0 ; 1 ; α) B(0 ; −1 ; β) oùα etβ sont deux réels. On désignera par F l’ensemble des droites du plan Π équidistantes des points A et B.

1. Unedroite deΠde vecteur directeur −→ peut-elle appartenir àF ? Préciser alors

F .

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. On suppose dans la suite duproblème queα2−β2 6= 0 et l’on pose p = α2−β2

2 .

Montrer qu’une droite de Π appartient à F si, et seulement si, elle admet une

équation dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

de la forme

y = ax+ p

2

(

a2+1 )

a est un réel.

3. Soit N0 un point de P de coordonnées (

x0 ; y0 ; 0 )

, déterminer le nombre de droites de F qui contiennent N0. Discuter. On appelle P l’ensemble des points deΠ qui appartiennent à une seule droite de F . Trouver une équation de l’en- semble P .

4. Soit P la courbe d’équation

y =− 1

2p x2+

p

2 .

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Quelle est la nature de P ? Donner une équation

cartésienne de la tangente à P au point de P d’abscisse t .

Montrer que F est l’ensemble des tangentes à la courbe P . Construire P dans le cas où α= 2 et β= 0.

Partie C

On rappelle qu’à tout vissage f correspond une droiteD, un angleω et un vecteur −→ v

appelés respectivement : axe, angle et vecteur du vissage, tels que f = r t = t r r

est la rotation d’axeD et d’angleω, t la translation de vecteur −→ v

−→ v est un vecteur

directeur deD s’il n’est pas nul, et ◦ le symbole de la composition des applications. On considère l’ensemble V des vissages de E dont l’axe est dans Π et qui trans- forment A en B.

1. Soit A′ et B′ les images de A et B dans la projection orthogonale sur une droite du plan π. Montrer que cette droite est axe d’un vissage de V si, et seulement si, elle appartient à F . On précisera le vecteur et l’angle de ce vissage en fonc- tion de A, B, A′, B′. Quel est l’ensemble des axes des éléments de V ?

2. On suppose, comme dans la question B 4. que α = 2 et β = 0. Préciser l’en- semble des axes des éléments de V . Préciser la nature du vissage de V et le Cosinus de son angle lorsque l’axe est la droite de Il d’équation y = 1 dans le

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

3. Donner le vecteur et le cosinus de l’angle du vissage de V dont l’axe est la

droite deΠ d’équation y =−x+2 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Antilles–Guyane 2 juin 1980

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