Exercitation – sciences mathèmatiques 8, Exercices de Techniques de calcul

Exercitation – sciences mathèmatiques 8, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite numérique, le couple d’entiers naturels.
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[ Baccalauréat C Amiens groupe 4 1 juin 1980 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Si a et b sont deux entiers, le plus grand diviseur commun de a et de b est noté

∆(a, b).

Soit (U ) la suite numérique définie par :

u0 = 1, u1 = 1et∀n ∈N, un+2 = 3un+1−2un .

1. Calculer les termes u2, u3, u4, u5, u6 de la suiteU .

2. Montrer que le suiteU vérifie :

pour tout entier naturel n,un+1 = 2un +1.

En déduire le plus grand diviseur commun de deux termes consécutifs de

cette suiteU .

3. a. Montrer que la suiteU vérifie :

pour tout entier naturel n, un = 2 n?1.

Les nombres 2n−1 et 2n+1−1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier

naturel n ?

b. Vérifier que, pour tout couple d’entiers naturels (n, p)

un+p =un (

up +1 )

+up .

En déduire que, pour tout couple d’entiers naturels (n, p) ∈N×N

∆ (

un , up )

=∆ (

un , un+p )

. (1)

c. Soit a et b deux entiers naturels non nuls, r est le reste de la division euclidienne de a par b ; déduire de la propriété (1) que

∆(ub , ur )=∆(ua , ub)

et que

∆(ua , ub)=u∆(a,b).

(on pourra utiliser l’algorithme d’Euclide, méthode des divisions succes-

sives).

d. Calculer alors ∆(u1982, u312).

EXERCICE 2 3 POINTS

On considère dans le plan vectoriel V rapporté à une base (

−→ ı ,

−→

)

l’endomorphisme

, β qui à tout vecteur −→ u de coordonnées (x ; y) dans la base

(

−→ ı ,

−→

)

associe le

vecteur −→ u ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

dans la même base définies par

{

x′ =αx−2αy

y ′ = 2βx+βy

α et β étant deux réels.

1.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

1. Déterminer les réels α et β pour que , β soit une projection vectorielle dont on précisera les éléments caractéristiques.

2. Déterminer les réels α et β pour que , β soit une involution que l’on préci- sera.

PROBLÈME 12 POINTS

Onsepropose d’étudier des fonctions deC dansC (Cdésigne l’ensemble des nombres

complexes) définies par :

f (z)= az+b

cz+d , (a, b, c, d) ∈C4, (c, d) 6= (0, 0).

Dans le plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

on

désigne par M et M ′ les points d’affixes z et f (z) et par F la fonction de P dans P qui

au point M associe le point M ′.

F sera appelée fonction ponctuelle associée à f .

I. Montrer que f est constante si et seulement si ad bc = 0.

1. On pose a = 1, c = 0, d = 1 et on note f1 l’application de C dans C obtenue.

a. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de F1.

b. Déterminer l’image par F1 :

– d’une droiteD quelconque de P

– d’un cercle C quelconque de P.

2. On pose b = 0, c = 0, d = 1, a 6= 0 et on note f2 l’application de C dans C obte- nue.

a. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de F2.

b. Déterminer l’image par F2 :

– d’une droiteD quelconque de P

– d’un cercle C quelconque de P.

3. On pose a = d = 0, b = c = 1 et on note f3 l’application de C⋆ dans C obtenue.

a. Montrer que F3 est une involution de P{O} dans P{O}.

Quels sont les points invariants de F3 ?

b. SoitΣ la symétrie orthogonale par rapport à la droite (

O, −→ ı

)

etK =Σ◦F3.

Déterminer l’affixe z ′′ de K (M) en fonction de l’affixe z de M . (On sup-

pose 6= 0).

En déduire que les points M et M ′′ appartiennent à une même demi-

droite d’origineO et que ∥

−−−→ OM

∥×

−−−−→ OM ′′

∥= 1.

c. Déterminer l’image par F3 :

– d’une droite passant parO, privée de ce point

– d’un cercle de centreO

– de la droite d’équation x = 1.

4. On considère la fonction f de C dans C définie par f (z)= i

z−1 .

a. Soit A le point d’affixe 1. Montrer que F est une bijection de P−{A} sur P−{O}.

b. Montrer qu’il existe des valeurs de a et b telles que F soit la composée de fonctions ponctuelles définies au 1, 2 et 3.

c. En déduire l’image par F :

– de la droite d’équation x = 1, privée de A

Amiens 2 juin 1980

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

– du cercle de centre A et rayon 1

– de la droite d’équation x = 2.

II. On considère l’ensemble F des fonctions f définies par :

f (z)= az+b

cz+d , (a, b, c, d) ∈R4, tel que ad bc 6= 0.

1. Montrer que F est aussi l’ensemble des fonctions f définies par :

f (z)= az+b

cz+d , (a, b, c, d) ∈R4, tel que |ad bc| = 1.

(On montrera que si k ∈ R⋆, (a, b, c, b) et (ka, kb, kc, kd) définissent la

même fonction f ).

2. On désigne par A l’ensemble des matrices

(

a b

c d

)

(a, b, c, d) ∈ R4 tel que

|ad bc| = 1.

Montrer que (A , ×) est un groupe et que u :A →Fmf sim =

(

a b

c d

)

,u(m)=

f :C→C

z 7−→ az+b

cz+d est un homomorphisme surjectif de (A ,×) dans (F , ◦).

Définir alors la structure de (F , ◦).

3. Déterminer tous les éléments de F tels que

a = 4, b = 3, (c, d) ∈Z2.

Les questions I. et II. sont indépendantes.

Amiens 3 juin 1980

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