Exercitation – sciences mathèmatiques 9, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application définie, les endomorphismes.
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[ Baccalauréat C Besançon septembre 1980 \

EXERCICE 1

n désigne un entier naturel fixé supérieur ou égal à 2.

1. Soit f l’application définie par

f : R→R f (s)= (1+ s)n .

Exprimer f (s) en utilisant le développement du binôme de Newton. En dé- duire la valeur de la somme

n

k=0 Ckn

2. αdésignant un réel fixé, onpose, pour tout entier k appartenant à {O,1,2, · · · ,n},pk = αCkn .

Déterminer α pour que les pk définissent une loi de probabilité de la variable aléatoire X dont les valeurs sont 0, 1, 2, · · · , n telle que, pour tout k, p(X = k)= pk . Cette valeur sera prise dans la suite de l’exercice. .

3. On considère l’application

g R→R, g (s)= n

k=0 pk s

k .

Comparer l’espérancemathématiqueE(X) de la variable aléatoire X et le nombre dérivé de la fonction g au point 1.

Trouver pour tout s réel une expression simple de g (s), puis de g ′(s). En dé- duire la valeur numérique de E(X).

EXERCICE 2

P est un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

. Un point

M est mobile dans P et sa position à l’instant t est donnée par ses coordonnées

{

x = et

y = (1+ t)e−t t décritR.

On prendra pour e la valeur approchée 2,7.

1. Soit C la trajectoire de M ; former l’équation de C sous la forme y = f (x), et construire C (l’unité sera représentée par 5 cm).

2. Déterminer le vecteur vitesse −−−→

V (t) et le vecteur accélération −−−→

Γ(t) deM à l’ins- tant t . Montrer que, de t1 = 0 à t2 = 1 le mouvement est accéléré.

À quel instant, V (t) et −−−→

Γ(t) sont-ils colinéaires ? Quelle est alors la position de M ?

PROBLÈME

E désigne un espace vectoriel réel euclidien de dimension 3 rapporté à une base

orthonormée B = (

−→

ı , −→

ı , −→

k )

.

L désigne l’espace vectoriel des endomorphismes de E.

Partie A

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Soit P le plan vectoriel qui a pour équation x+2y +3z = 0.

1. p désignant la projection vectorielle orthogonale de E sur P, écrire en fonc-

tion des coordonnées (x, y, z) d’un vecteur −→

V les coordonnées (

x′, y ′, z ′ )

du

vecteur −→

V ′ = p (

−→

V )

.

2. On considère l’application q de E dans E définie par

−→

V = x −→

ı + y −→

+ z −→

k , −→

V1 = q (

−→

V )

= x1 −→

ı + y1 −→

+ z1 −→

k .

avec

x1 = 1

14 (x+2y +3z),

y1 = 1

7 (x+2y +3z)

z1 = 3

14 (x+2y +3z),

Montrer que q est une projection vectorielle que l’on définira par son image et son noyau.

3. Identifier les endomorphismes p+q, p q, q p.

Partie B

On considère l’ensemble A des endomorphismes ap+bq où (a, b) décrit R2.

1. Montrer que A est un sous-espace vectoriel deL ; quelle en est la dimension ?

2. Déterminer noyau et image de ap+bq , selon les valeurs de a et b.

3. Montrer que les homothéties vectorielles appartiennent à A.

4. Montrer que la composée de deux éléments de A est un élément de A ; en dé- duire que (A,+, ◦) est un anneau commutatif unitaire.

5. Montrer que A contient quatre projections vectorielles seulement.

6. Quels sont les éléments involutifs de A ?

N.B. - La partie B peut se traiter sans utiliser les expressions analytiques de p et de q .

Besançon 2 septembre 1980

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