Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 1, Exercices de Calcul avancé. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 1, Exercices de Calcul avancé. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: calculer l’intégrale, Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
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[ Baccalauréat C Dakar juin 1980 \

EXERCICE 1

1. Linéariser sin3 x.

2. En intégrant par parties, calculer l’intégrale

I = ∫ π

2

0

(

x sin3 x )

dx.

EXERCICE 2

Mamadou et Diallo font cinq parties de pile ou face avec une pièce parfaitement équilibrée ne pouvant retomber sur la tranche ; l’enjeu est de 100 F par partie. (Celui qui perd donne 100 F à celui qui gagne). Chacun d’eux dispose d’une somme de 400 F. Le règlement s’effectue à la fin de la cinquième partie. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre k de parties gagnées par Mamadou.

1. Quelle double inégalité doit satisfaire k pour que le règlement puisse s’effec- tuer sans dette de l’un ou l’autre joueur (c’est-à-dire que chaque joueur peut donner immédiatement à l’autre joueur la somme qu’il lui doit ?)

2. a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

b. Quelle est la probabilité d’un règlement sans dette ?

PROBLÈME

On rappelle qu’un endomorphisme d’un espace vectoriel est une application li- néaire de cet espace vectoriel dans lui-même.

Partie A

Soit P le plan vectoriel euclidien rapporté à la base orthonormée (−→ ı ,

−→

)

. On consi-

dère les endomorphismes Φ de P tels que : Φ3 = ψ, ψ étant un endomorphisme donné de P

(

Φ 3 =Φ◦Φ◦Φ

)

.

1. a. Démontrer que Φ est bijectif si, et seulement si,ψ est bijectif.

b. Soit Ker Φ et ImΦ, respectivement le noyau et l’image deΦ, Ker ψ et Im ψ respectivement le noyau et l’image deψ, démontrer que

KerΦ⊂Kerψ, Imψ⊂ ImΦ.

2. À tout réel λ non nul on associe l’ensemble Eλ des vecteurs −→ u de P tels que

ψ (−→ u

)

= λ −→ u , et à tout réel µ non nul on associe l’ensemble Fµ des vecteurs

−→ u

de P tels que Φ (−→ u

)

=µ −→ u .

Démontrer que si −→ u est élément de Fµ alors il existe λ que l’on précisera tel

que −→ u appartienne à Eλ.

Démontrer que Eλ est stable par Φ (c’est-à-dire que pour tout vecteur −→ u de

Eλ, Φ (−→ u

)

appartient à Eλ.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

3. On considère l’endomorphisme Φ dematrice dans la base (−→ ı ,

−→

)

A= (

a b

b a

)

a et b sont deux réels non tous les deux nuls.

a. Démontrer qu’il existe deux valeurs distinctes deλ que l’on déterminera,

λ1 et λ2 telles que Eλ 6= {−→ 0

}

. Déterminer Eλ1 et Eλ2 . (étudier les cas b 6= 0 et b = 0).

b. Soit −→ u1 un vecteur non nul de Eλ1 et

−→ u2 un vecteur non nul de Eλ2). Dé-

terminer la matrice A′ deψ dans la base (−→ u1 ,

−→ u2

)

.

Calculer la matrice M3 (M3 =M ×M×M) pourM= (

α 0 0 β

)

((α, β) ∈R2).

En déduire qu’il existe au moins un endomorphisme Φ de P solution de Φ

3 =ψ.

c. a = b = p 2

2 . Vérifier queψ est une symétrie vectorielle orthogonale. Dé-

terminer λ1 et λ2.

Que représentent Eλ1 et Eλ2 pour cette symétrie ?

Partie B

Soit P un plan affine euclidien associé au plan vectoriel P. (YJ est muni du repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit J la fonction numérique définie par

f (x)= 4

5 x+

3

5

9− x2.

1. Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative C dans P rapporté au

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Construire la courbe C′ image de C par la symétrie centrale de centre O ; dé- terminer une équation de C′. On pose Γ=C ∪ C′, démontrer que

25x2+25y2−40xy −81 = 0

est une équation de Γ.

3. Soit s la symétrie affineorthogonale associée à la symétrie vectorielleψdéfinie à la question A 3. c. et laissant O invariant.

Déterminer une équation de la courbe Γ′ image de Γ par s.

Quelle est la nature de Γ′ ? En déduire la nature de Γ et préciser ses axes de symétrie.

Dakar 2 juin 1980

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