Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 10, Exercices de Calcul avancé

Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 10, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système de numération à base cinq, le système décimal.
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[ Baccalauréat C Limoges septembre 1980 \

EXERCICE 1

Dans le système de numération à base cinq, l’entier naturel n s’écrit

n = 3x4y0.

1. Quels sont les couples (x ; y) tels que n soit divisible par quatre ?

2. Quels sont les couples (x ; y) tels que n soit divisible par six ?

3. Quels sont les couples (x ; y) tels que n soit divisible par douze ? En déduire qu’il existe un seul n divisible par douze tel que x soit strictement inférieur à y ; donner son écriture dans le système décimal.

EXERCICE 2

1. Dans le plan vectoriel P rapporté à la base (

−→ ı ,

−→

)

, on considère la projection

p sur la droite vectorielle engendrée par le vecteur a −→ ı +b

−→ (a ∈ R⋆, b ∈ R),

et dont la direction est déterminée par le vecteur −→ ; et la projection q sur la

droite vectorielle engendrée par le vecteur c −→ ı +d

−→ (c ∈R, d ∈R⋆), et dont la

direction est déterminée par le vecteur −→ ı .

Soit alors f l’application linéaire f = ap+dq .

(Rappel : R′ désigne l’ensemble R− {0} des réels non nuls.)

Former la matrice M de f dans la base (

−→ ı ,

−→

)

.

2. Utiliser les résultats de la question précédente pour décomposer sous la forme

ap +dq l’application linéaire g de matrice A =

(

2 2 2 −1

)

dans la base (

−→ ı ,

−→

)

,

p et q étant deux projections vectorielles que l’on précisera, a et d deux réels que l’on calculera.

PROBLÈME

On notera dans ce problème, V l’espace vectoriel des fonctions f à valeurs réelles définies, continues et dérivables sur R ; et l’on désignera par f ′ la dérivée première de la fonction f . Le nombre réelθ étant élément de l’intervalle ] 0 ; 1[, le but duproblème est d’étudier pour certaines fonctions f de V l’ensemble E( f ; θ) des réels x tels que l’on ait

(1) f (x+1)− f (x)= f ′(x+θ).

Partie A

On étudie E( f ; θ) pour les fonctions polynômes.

1. Caractériser E( f ; θ) pour les fonctions affines

f : x 7−→ ax+b.

2. Si f est une fonction polynôme de degré deux

f : x 7−→ ax2+bx+c,

avec a 6= 0, montrer que E( f ; θ) est non vide pour une valeur unique t0 de θ, que l’on calculera ; caractériser E

(

f ; t0 )

.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

3. On considère dans cette question la fonction polynôme de degré trois

f : x 7−→ x3

a. Montrer que E( f ; θ) est vide pour une valeur unique t1 de θ que l’on calculera ; caractériser E( f ; θ) pour θ 6= t1.

b. On considère la fonction ϕ de la variable réelle θ

ϕ : θ 7−→ 3θ2−1

3(1−2θ) .

Étudier cette fonction ϕ sur l’intervalle ]0 ; 1[, et en tracer la représenta- tion graphique par rapport à un repère orthonormé (unité d’axes : 6 cm).

c. Déduire de a. et de b. que, x étant fixé dans R, il existe au moins une valeur de θ dans ]0 ; 1[ telle que x soit élément de l’ensemble E( f ; θ) ; on précisera les valeurs de x pour lesquelles il existe deux telles valeurs de θ.

Partie B

On considère les fonctions exponentielles fm du type

fm : x 7−→ e mx , oùm est un réel strictement positif.

1. Montrer que, à chaque valeur strictement positive de m, on peut associer un nombre réel et un seul, noté θm , tel que

x ∈R, fm (x+1)− fm (x)= f m (x+θm ) ,

et exprimer θm en fonction dem.

2. Étudier la variation de chacune des fonctions

g1 : t 7−→ e t t −1 et g2 : t 7−→ te

t t −1.

En déduire que pour m strictement positif, g1(m) et g2(m) sont strictement positifs.

3. À l’aide du résultat précédent, montrer que les réels θm déterminés au 1. sont tous strictement compris entre 0 et 1.

4. Le nombre strictement positif m étant fixé, caractériser E (

fm ; θ )

suivant les différentes valeurs du réel θ de ]0 ; 1[.

Partie C

Le réel θ étant fixé dans [0 ; 1[, on considère les fonctions f satisfaisant à la relation (1) pour toute valeur réelle de la variable x, et on note Vθ leur ensemble.

1. Montrer que Vθ constitue un sous-espace vectoriel de V.

2. Montrer par récurrence que, si une fonction indéfiniment dérivable est élé- ment de Vθ il en est ainsi de toutes ses dérivées successives.

3. a. Déduire des résultats précédents que les seules fonctions polynômes de

Vθ sont les fonctions affines, sauf pour θ = 1

2 .

b. Quelles sont les fonctions polynômes de V 1 2 ?

Limoges 2 septembre 1980

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