Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 11, Exercices de Calculs avancés

Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 11, Exercices de Calculs avancés

PDF (43 KB)
3 pages
88Numéro de visites
Description
Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des nombres complexes, l’endomorphisme, le plan vectoriel de base.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 3
Télécharger le document
LyonCjuin1980*.dvi

[ Baccalauréat C Lyon juin 1980 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère l’entier naturel A qui s’écrit 1x416 dans le système de numération de base sept.

1. Déterminer x pour que

a. A soit divisible par six ;

b. A soit divisible par cinq.

En déduire qu’il existe x tel que A soit divisible par trente.

2. On donne à x la valeur zéro. Déterminer l’écriture décimale de A. Quel est le nombre de diviseurs positifs de A ? Quel est l’ensemble des diviseurs positifs de A qui sont premiers avec trois ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit α un nombre réel vérifiant 0<α<π. On considère l’équation en z

(E) z2 sin2α−4z sinα+4+cos2α= 0.

1. Résoudre (E) dans le corps des nombres complexes.

2. On désigne par M ′ et M ′′ les images des racines z ′ et z ′′ de (E) dans un repère

orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

du plan complexe.

Montrer que, lorsque αvarie dans ]0 ; π[, l’ensemble des points M ′ et M ′′ est une branche d’une hyperbole (H). Préciser les sommets et les asymptotes de (H) et dessiner la branche d’hyperbole en question.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

On désigne par E un espace vectoriel sur R de dimension 3 et on note B une base (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

de E .

Étant donné un nombre réel a, on considère l’endomorphisme ϕa de E défini par 

ϕ

(−→ ı )

= a −→ ı −2

−→

ϕ

(−→

)

= 2 −→ ı +a

−→

ϕ

(−→ k )

= a −→ k

On désigne par P le plan vectoriel de base (−→ ı ,

−→

)

.

1. a. Vérifier que, pour tout −→ u ∈ P, ϕa

(−→ u )

∈P.

b. Soit −→ u un vecteur de coordonnées (x ; y ; z) dans la base B.

Quelles sont les coordonnées de ϕa (−→ u )

dans cette base ?

Déterminer le noyau de ϕa suivant les valeurs de a. À quelle condition ϕa est-il bijectif ? Dans le cas contraire, déterminer l’image deϕa et, pour

tout vecteur −→ v de P, l’ensemble des antécédents de

−→ v par ϕa .

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. On suppose que E est euclidien et que B est orthonormée.

Soit P un plan affine de direction P rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. On dé-

signe par s la restriction de ϕa au plan vectoriel P et par S l’application af- fine de P dans P associée à s telle que S(O) soit le point O′ de coordonnées (1−2

p 3 ; 2).

Montrer que S est une similitude directe de P . Déterminer pour a = 2 p 3 le

rapport et le centre de S et unemesure en radians de son angle dansP orienté

par (−→ ı ,

−→

)

.

Partie B

Soit F l’espace vectoriel des fonctions numériques réelles définies sur l’intervalle [

π

2 ; π

2

]

de R. On considère le sous-espace vectoriel E deF engendré par les fonc-

tions f1, f2, f3 définies sur [

π

2 ; π

2

]

par

f1(t)= e −t cos t , f1(t)= e

t sin t , f3(t)= e −t .

1. a. Montrer que (

f1, f2, f3 )

est une base de E .

b. Soit f un élément de E de coordonnées (x ; y ; z) dans la base (

f1, f2, f3 )

. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est un élément de E dont on don- nera les coordonnées dans la base

(

f1, f2, f3 )

.

c. En déduire que tout élément f de E a une primitive F et une seule dans E et déterminer F .

2. Soit a un nombre réel. À tout élément f de E on associe la fonction définie

sur [

π

2 ; π

2

]

par

(t)= (a+2) f (t)+2 f ′(t)

f ′ désigne la fonction dérivée de f . Montrer que l’on définit ainsi une ap- plication de E dans E notéeψa et queψa est un endomorphisme de E .

Calculer les coordonnées deψa( f )= dans la base (

f1, f2, f3 )

en fonction des coordonnées de f dans cette base.

Partie C

On applique les résultats des parties A et B du problème au cas particulier où E = E , B =

(

f1, f2, f3 )

et a = 0. On a alors ϕ0 =ψ0. Soit g l’élément de E défini par

g (t)= e−t (cos t − sin t)

pour tout t ∈ [

π

2 ; π

2

]

.

1. Étudier les variations de g et montrer que g est une bijection de [

π

2 ; π

2

]

sur un intervalle J qu’on déterminera. Quel est le domaine de dérivabilité de la fonction réciproque g−1 ? Calculer le nombre dérivé en 1 de cette fonction g−1

2. Tracer la courbe représentative C de g dans un repère R orthonormé (unité :

1 cm). Placer les points d’abscisses 0 et π

4 . Tracer aussi la courbe représenta-

tive C−1 de la fonction réciproque g−1.

Calculer l’aire en centimètres carrés du domaine D défini par la courbe (C),

l’axe Ox et les droites x =− π

2 , x =

π

2 .

Lyon 2 juin 1980

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

3. Montrer que l’ensemble Eg des fonctions antécédentes de g parϕ0 est consti-

tué par les fonctions , α ∈R, définies sur [

π

2 ; π

2

]

par

(t)= e −t

(

α+ 1

2 cos t +

1

2 sin t

)

.

Étudier les variations de suivant les valeurs de α.

Tracer les courbes représentatives de g− 12 et g 3

2 dans un repère orthogonal

R ′ =

(

O, −→ ı ,

−→

)

. (On prendra ∥

−→ ı

∥= 3 cm, ∥

−→

∥= 1 cm).

On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes :

e π

2 ≈ 4,8 ; e− π

6 ≈ 0,6.

Lyon 3 juin 1980

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Télécharger le document