Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 11, Exercices de Calcul avancé

Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 11, Exercices de Calcul avancé

PDF (42.3 KB)
3 pages
86Numéro de visites
Description
Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des nombres complexes, l’endomorphisme, le plan vectoriel de base.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
LyonCjuin1980*.dvi

[ Baccalauréat C Lyon juin 1980 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère l’entier naturel A qui s’écrit 1x416 dans le système de numération de base sept.

1. Déterminer x pour que

a. A soit divisible par six ;

b. A soit divisible par cinq.

En déduire qu’il existe x tel que A soit divisible par trente.

2. On donne à x la valeur zéro. Déterminer l’écriture décimale de A. Quel est le nombre de diviseurs positifs de A ? Quel est l’ensemble des diviseurs positifs de A qui sont premiers avec trois ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit α un nombre réel vérifiant 0<α<π. On considère l’équation en z

(E) z2 sin2α−4z sinα+4+cos2α= 0.

1. Résoudre (E) dans le corps des nombres complexes.

2. On désigne par M ′ et M ′′ les images des racines z ′ et z ′′ de (E) dans un repère

orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

du plan complexe.

Montrer que, lorsque αvarie dans ]0 ; π[, l’ensemble des points M ′ et M ′′ est une branche d’une hyperbole (H). Préciser les sommets et les asymptotes de (H) et dessiner la branche d’hyperbole en question.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

On désigne par E un espace vectoriel sur R de dimension 3 et on note B une base (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

de E .

Étant donné un nombre réel a, on considère l’endomorphisme ϕa de E défini par 

ϕ

(−→ ı )

= a −→ ı −2

−→

ϕ

(−→

)

= 2 −→ ı +a

−→

ϕ

(−→ k )

= a −→ k

On désigne par P le plan vectoriel de base (−→ ı ,

−→

)

.

1. a. Vérifier que, pour tout −→ u ∈ P, ϕa

(−→ u )

∈P.

b. Soit −→ u un vecteur de coordonnées (x ; y ; z) dans la base B.

Quelles sont les coordonnées de ϕa (−→ u )

dans cette base ?

Déterminer le noyau de ϕa suivant les valeurs de a. À quelle condition ϕa est-il bijectif ? Dans le cas contraire, déterminer l’image deϕa et, pour

tout vecteur −→ v de P, l’ensemble des antécédents de

−→ v par ϕa .

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. On suppose que E est euclidien et que B est orthonormée.

Soit P un plan affine de direction P rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. On dé-

signe par s la restriction de ϕa au plan vectoriel P et par S l’application af- fine de P dans P associée à s telle que S(O) soit le point O′ de coordonnées (1−2

p 3 ; 2).

Montrer que S est une similitude directe de P . Déterminer pour a = 2 p 3 le

rapport et le centre de S et unemesure en radians de son angle dansP orienté

par (−→ ı ,

−→

)

.

Partie B

Soit F l’espace vectoriel des fonctions numériques réelles définies sur l’intervalle [

π

2 ; π

2

]

de R. On considère le sous-espace vectoriel E deF engendré par les fonc-

tions f1, f2, f3 définies sur [

π

2 ; π

2

]

par

f1(t)= e −t cos t , f1(t)= e

t sin t , f3(t)= e −t .

1. a. Montrer que (

f1, f2, f3 )

est une base de E .

b. Soit f un élément de E de coordonnées (x ; y ; z) dans la base (

f1, f2, f3 )

. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est un élément de E dont on don- nera les coordonnées dans la base

(

f1, f2, f3 )

.

c. En déduire que tout élément f de E a une primitive F et une seule dans E et déterminer F .

2. Soit a un nombre réel. À tout élément f de E on associe la fonction définie

sur [

π

2 ; π

2

]

par

(t)= (a+2) f (t)+2 f ′(t)

f ′ désigne la fonction dérivée de f . Montrer que l’on définit ainsi une ap- plication de E dans E notéeψa et queψa est un endomorphisme de E .

Calculer les coordonnées deψa( f )= dans la base (

f1, f2, f3 )

en fonction des coordonnées de f dans cette base.

Partie C

On applique les résultats des parties A et B du problème au cas particulier où E = E , B =

(

f1, f2, f3 )

et a = 0. On a alors ϕ0 =ψ0. Soit g l’élément de E défini par

g (t)= e−t (cos t − sin t)

pour tout t ∈ [

π

2 ; π

2

]

.

1. Étudier les variations de g et montrer que g est une bijection de [

π

2 ; π

2

]

sur un intervalle J qu’on déterminera. Quel est le domaine de dérivabilité de la fonction réciproque g−1 ? Calculer le nombre dérivé en 1 de cette fonction g−1

2. Tracer la courbe représentative C de g dans un repère R orthonormé (unité :

1 cm). Placer les points d’abscisses 0 et π

4 . Tracer aussi la courbe représenta-

tive C−1 de la fonction réciproque g−1.

Calculer l’aire en centimètres carrés du domaine D défini par la courbe (C),

l’axe Ox et les droites x =− π

2 , x =

π

2 .

Lyon 2 juin 1980

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

3. Montrer que l’ensemble Eg des fonctions antécédentes de g parϕ0 est consti-

tué par les fonctions , α ∈R, définies sur [

π

2 ; π

2

]

par

(t)= e −t

(

α+ 1

2 cos t +

1

2 sin t

)

.

Étudier les variations de suivant les valeurs de α.

Tracer les courbes représentatives de g− 12 et g 3

2 dans un repère orthogonal

R ′ =

(

O, −→ ı ,

−→

)

. (On prendra ∥

−→ ı

∥= 3 cm, ∥

−→

∥= 1 cm).

On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes :

e π

2 ≈ 4,8 ; e− π

6 ≈ 0,6.

Lyon 3 juin 1980

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome