Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 12, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la transformée, la mesure de l’angle de (D).
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1980 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit f la fonction de R dans R définie par

x 7−→ f (x)= 3x−3log ∣∣2ex −1

∣∣

et soit G la représentation graphique de cette fonction dans un plan affine P muni

d’un repère ( O,

−→

ı , −→

) . Démontrer que G admet trois asymptotes passant par un

même point. On ne demande pas de construireG.

EXERCICE 2 3 POINTS

Soit n un entier naturel, on pose a = 2n+8, b = 3n+15. On désigne par δ le PGCD de a et b.

1. Démontrer que, pour tout n ∈N, δ divise 6.

2. Déterminer l’ensemble S des entiers naturels n pour lesquels δ = 6, c’est-à- dire l’ensemble

S = {n ∈N/PGCD(2n+8, 3n+15)= 6}.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit P un plan affine euclidien, muni d’un repère orthonormé ( O,

−→

u , −→

v ) , on identi-

fie P au plan complexe en associant à tout pointM de coordonnées (x ; y) le nombre complexe z = x+ iy appelé affixe deM . Soit T l’application qui, au point M de P d’affixe Z associe le point M ′ d’affixe

Z ′ = (1+ i)Z − i.

1. a. Cette application est-elle une bijection du plan sur lui-même ? Si oui, dé- finir T−1.

b. Caractériser géométriquement la transformation T. On notera A le point

invariant par T. Donner une mesure de l’angle á(−−→

AM , −−−−→

MM ′ ) en suppo-

sant M distinct de A.

c. Montrer qu’il existe un point B du plan, distinct de A, et un seul, tel que les affixes Z0 de B et Z ′0 de B

′ = T (B) soient liées par la relation Z0Z ′0 = 1.

Construire B et B′.

d. Quelle est la transformée (D′) par T de la droite (D) d’équation xy−1= 0 ?

Donner une mesure de l’angle de (D) et (D′).

e. Quelle est la transformée (H ′) par T de la courbe (H) d’équation

y = 1

4(1− x) ? Préciser les éléments géométriques remarquables de (H ′).

2. a. Déterminer l’équation de l’ensemble (C′) des points M ′ lorsque M par- court le cercle (C) de centre O et de rayon 1.

Montrer que cet ensemble (C′) peut être déterminé géométriquement en utilisant uniquement la nature de la transformation T .

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

b. On suppose le point M animé d’un mouvement uniforme sur le cercle (C). On suppose aussi que la vitesse angulaire est égale à 1 et qu’à l’ins- tant de date t = 0, le point M a pour coordonnées (1 ; 0). Le mouvement deM ′ sur (C′) est-il uniforme ? Quelle est la vitesse angulaire du mouve- ment deM ′ ?

3. Soit M un point quelconque du plan P,M ′ son image par T et G le barycentre des points A,M , M ′ affectés des coefficients respectifs +1, +2, −1.

a. Donner une construction géométrique deG, connaissant A,M et M ′.

b. Calculer l’affixe Z ′′ deG en fonction de l’affixe Z deM et définir géomé- triquement l’application qui au point M associe le pointG.

c. Quel est l’ensemble des points G lorsque M décrit la droite ( A,

−→

v ) ?

4. Soit x et y les coordonnées cartésiennes deM dans le repère ( O,

−→

u , −→

v ) .

a. Calculer le module r de Z ′, affixe deM ′ = T (M), en fonction de x et y .

b. On suppose que M décrit la droite d’équation y = x.

On définit une fonction ϕ : x 7−→ϕ(x)= r .

Étudier ϕ et tracer sa représentation graphique.

Montpellier 2 juin 1980

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