Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 13, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la matrice dans la base, les bijections linéaires.
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[ Baccalauréat C Nancy-Metz juin 1980 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Montrer que sim est un nombre entier tel que 0<m < 7, alors 77−11m n’est pas divisible par 7 ; en déduire que 77 ne peut pas s’écrire sous la forme 11m+ 7n avecm, n entiers supérieurs à zéro.

2. Soit x un entier ; montrer qu’il existe un entier m, vérifiant 0 <m 6 7, tel que x−11m soit divisible par 7 ; en déduire que si x > 77, alors x peut s’écrire sous la forme 11m+7n avecm, n entiers supérieurs à zéro.

3. On dispose de jetons de deux catégories auxquels on attribue respectivement les valeurs 7 et 11 ; montrer que 59 est la plus grande valeur ne pouvant être réalisée à partir de tels jetons : on constatera que les valeurs réalisables sont les nombres de la forme 11m+7n avecm, n entiers positifs ou nuls.

EXERCICE 2 3 POINTS

On définit une application f de l’intervalle [0 ; 1] dans R en posant

f (x)= x

− logx

pour x ∈]0 ; 1], et f (0)= 0.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

2. Montrer, en étudiant les variations sur l’intervalle ]0 ; 1] de la fonction g défi- nie par

g (x)=− logx+ x−1,

que pour tout x de cet intervalle

− logx> 1− x;

étudier, à partir de là, la dérivabilité de f en 1.

3. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(

on prendra e− 1 2 ≈ 0,6 et

1 p 2 e−

1 2 ≈ 0,4

)

PROBLÈME 14 POINTS

On désigne par P un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée (−→ ı ,

−→

)

.

Pour tout nombre réel non nul a, on note ga (respectivement ha ) l’application li-

néaire de P dans lui-même dont la matrice dans la base (−→ ı ,

−→

)

est

M (

ga )

=

a 1 p 3

(

a− 1

a

)

0 1

a

respectivement

M (ha )=

a 1 p 3

(

a− 1

a

)

a p 3 −a

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Partie A

Dans cette partie on suppose que le nombre réel non nul a est distinct de + 1 et −1.

1. Montrer qu’il existe une droite Da de vecteurs −→ u tels que ha

(−→ u )

= −→ u et une

droite D a de vecteurs −→ v tels que ha

(−→ v )

=− −→ v . Caractériser ces droites. Don-

ner la nature géométrique de ha .

2. Montrer que ha est une isométrie vectorielle si, et seulement si, a = 1

2 ou

a =− 1

2 ; donner, pour a =

1

2 , des vecteurs

−→ u ,

−→ u unitaires tels que

ha

(−→ u )

= −→ u et ha

(−→ v )

=− −→ v .

Partie B

1. Montrer que, quels que soient les nombres réels non nuls a, b, on a

ga gb = gb ga .

En déduire que l’ensemble des ga , lorsque a parcourt R⋆, est un sous-groupe commutatif du groupe des bijections linéaires de P dans lui-même.

2. Montrer que, quels que soient les nombres réels non nuls a, b, on a

ha hb = g b a .

Montrer que l’ensemble des ga et des ha , lorsque a parcourt R⋆, est un sous- groupe du groupe des bijections linéaires de P dans lui-même. Est-ce un sous-groupe commutatif ?

Partie C

À partir de cette question le plan vectoriel P sera également considéré comme un

plan affine de direction P ; on prend pour origine O, le vecteur −→ 0 de sorte que les

applications linéaires de P dans lui-même sont aussi les applications affines de P dans lui-même qui conservent l’origine O.

1. On considère la fonction numérique f définie sur R par

f (x)= 1

2

( √

3x2+4− x p 3 )

.

Étudier ses variations ; construire sa courbe représentative C1 dans le plan P

rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. On désigne par C la réunion de C1 et de sa transformée dans la symétrie par rapport à O ; montrer que C est l’ensemble des points de P dont les coordon- nées (x ; y) vérifient

(

y + x p 3 )

y = 1.

3. Montrer que pour tout nombre réel a non nul on a ha (C) = C ; en déduire que l’on a également ga(C) = C.

Ecrire une équation de C dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

du A 2. Quelle est la nature

de C ?

Nancy-Metz 2 juin 1980

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