Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 14, Exercices de Calculs avancés

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des éléments x de Z, l’ensemble des couples.
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[ Baccalauréat C Nantes juin 1980 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Si p et q sont deux éléments de Z⋆ le plus grand commun diviseur de ces deux nombres sera noté pq .

1. a. Déterminer l’ensemble des éléments x de Z qui vérifient :

3x ≡ 23 [7].

b. En déduire l’ensemble des couples (x, y) de Z2 qui vérifient :

3x−7y = 23 (1)

2. a. Soit k un élément de Z, k 6= 7. Démontrer l’égalité

(3+7k)∧ (−2+3k) = (k+7)∧23.

b. En déduire l’ensemble des couples (x, y) de (

Z ⋆ )2 vérifiant (1) et tels que

xy 6= 1.

EXERCICE 2 5 POINTS

1. Soit g l’application de R⋆ dans R définie par

g (x)= 2− x+ ln |x|.

a. Étudier les variations de g et ses limites aux bornes de R⋆.

b. Démontrer qu’il existe trois nombres réelsα1,α2,α3, qu’on ne cherchera pas à calculer, tels que :

α1 < 0<α2 < 1<α3

g (α1)= g (α2)= g (α3)= 0.

2. Soit f l’application de R− {0 ; 1} dans R définie par

f (x)= x(1+ ln |x|)

1− x .

Calculer la fonction dérivée f ′. Déduire de la première question l’étude du signe de f ′(x).

3. Soit F l’application de R− {1} dans R définie par {

F (x) = f (x) si x 6= 0 F (0) = 0

a. F est-elle continue en x = 0 ? Est-elle dérivable en ce point ? b. Étudier les variations de F .

c. On considère un plan affine rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

( −→ ı dirigeant l’axe des abscisses, unité 3 centimètres).

Donner l’allure de la courbe représentative C de F dans ce plan. Déter- miner les points d’intersection, autres que O, deC avec la droite d’équa- tion y =−x.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

PROBLÈME 12 POINTS

Soient P un plan vectoriel euclidien, rapporté à une base orthonormée B = (−→ ı ,

−→ )

,

P un plan affine associé à P, O un point de P ; on note R le repère (O ; B) de P . Pour les représentations graphiques dansP onprendra deux centimètres pour unité de longueur. On désigne par L(P) l’ensemble des endomorphismes de P. On rappelle queL (P ) a une structure d’espace vectoriel et que, muni de l’addition et de la com- position des applications, notées respectivement + et ◦, cet ensemble a aussi une structure d’anneau unitaire. On désigne respectivement par e et ’ l’application identique et l’application nulle de L (P ). Si f est un élément deL (P ) et si n est un entier naturel, on note f n l’élément de L (P ) défini par les relations

f 0 = e, f 1 = f , f n = f f n−1 sin > 1.

Partie A

On se propose d’étudier les endomorphismes f de L (P ) vérifiant la relation

f 2+ 1

2 f

5

18 e =ω. (1)

1. Soit g l’endomorphisme de P dont la matrice dans la base B est :

− 1

4 −

7

12

− 7

12 − 1

4

Vérifier que g est solution de (1).

2. a. Déterminer les deux homothéties vectorielles solutions de (1). On ap- pelle k1 et k2 leurs deux rapports avec k1 < k2.

b. Démontrer que la relation (1) est équivalente à la relation

(

f k1e )

◦ (

f k2e )

=ω. (2)

3. Soit f l’endomorphisme de P, autre qu’une homothétie vectorielle, vérifiant (1). On note de la manière suivante deux noyaux et deux images :

N1 = ker (

f k1e )

, N2 = ker (

f k2e )

, I1 = Im (

f k1e )

, I2 = Im (

f k2e )

.

a. Démontrer que I2 = N1 et I1 = N2. En déduire que N1 et N2 sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de P.

b. Soient p1 la projection vectorielle de P sur N1 de direction N2 et

p2 = e−p1. Démontrer le relation :

f = k1p1+k2p2.

En déduire, pour n entier naturel, une expression de f n combinaison linéaire de p1 et p2.

4. On désigne par π le sous-espace vectoriel de L (P ) engendré par p1 et p2 de la question précédente.

a. Quelle est la dimension de π ?

Nantes 2 juin 1980

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

b. Démontrer que (π, +, ◦) est un anneauunitaire. Préciser l’élément neutre de cet anneau.

c. Déterminer les solutions de (1) dans π, autres que f .

5. On suppose désormais que f est l’endomorphisme g définie à la première question.

a. Déterminer N1 et N2. Donner une base de chacun de ces espaces vecto- riels.

b. Vérifier que p1 et p2 sont des projections orthogonales. En déduire que :

x, x ∈P, ‖x‖22= ∥

p1(x) ∥

2+ ∥

p2(x) ∥

2 .

c. Démontrer qu’un élément λ1p1+λ2p2 deπ est une isométrie si et seule- ment si |λ1| = |λ2| = 1. En déduire que l’ensemble des applications de π qui sont des isométries est un groupe dont on précisera les éléments.

Partie B

Soit γ l’application affine deP dansP dont l’endomorphisme associé est l’applica-

tion g du A 1. et telle que γ(O)=O1, O1 étant le point d’abscisse 7

3 et d’ordonnée 5

dans R.

1. Démontrer que γ admet un point invariant unique A dont on donnera les co- ordonnées dans R.

2. a. Démontrer qu’il y a exactement deux droites de P passant par A, globa- lement invariantes par γ. Représenter graphiquement ces droites dans P muni de R.

b. Démontrer que ce sont les seules droites de P globalement invariantes par γ.

3. Soit R′ le repère (

A ; −→ u1 ,

−→ u2

)

où −→ u1 =

p 2

2

(−→ ı +−→

)

dirige l’axe des abscisses et

−→ u1 =

p 2

2

(

−−→ı +−→)

celui des ordonnées.

Soit M0 un point de P . Si n est un entier naturel non nul, on pose M1 = γ (M0) , · · · , Mn = γ (Mn−1).

a. Montrer que l’on peut écrire

−−−→ AMn = kn2 p1

−−−→ AM0 +kn1 p2

−−−→ AM0 .

En déduire que

−−−→ AMn

∥6 (

|k1|n +|k2|n )

−−−→ AM0

∥ .

Que peut-on en déduire pour la suite des points (Mn )n∈N ?

b. Déterminer le réel strictement positifα tel que la courbeCduplanP , re- présentant dansR′ la fonction de R⋆ dans R, x 7−→ |x|α soit globalement invariante par γ.

c. Démontrer que si M0 ∈ C, on a :

n, n ∈N, Mn ∈C.

d. Soit Γ le cercle de P de centre A et de rayon 4. Déterminer une équa- tion de γ(Γ) dans R′. Quelle est la nature de cette courbe ? Préciser ses sommets.

Représenter graphiquement Γ et γ(Γ) sur le dessin de la question B 2. a.

Nantes 3 juin 1980

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