Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 14, Exercices de Calcul avancé

Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 14, Exercices de Calcul avancé

PDF (47.3 KB)
3 pages
85Numéro de visites
Description
Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des éléments x de Z, l’ensemble des couples.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
NantesCjuin1980*.dvi

[ Baccalauréat C Nantes juin 1980 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Si p et q sont deux éléments de Z⋆ le plus grand commun diviseur de ces deux nombres sera noté pq .

1. a. Déterminer l’ensemble des éléments x de Z qui vérifient :

3x ≡ 23 [7].

b. En déduire l’ensemble des couples (x, y) de Z2 qui vérifient :

3x−7y = 23 (1)

2. a. Soit k un élément de Z, k 6= 7. Démontrer l’égalité

(3+7k)∧ (−2+3k) = (k+7)∧23.

b. En déduire l’ensemble des couples (x, y) de (

Z ⋆ )2 vérifiant (1) et tels que

xy 6= 1.

EXERCICE 2 5 POINTS

1. Soit g l’application de R⋆ dans R définie par

g (x)= 2− x+ ln |x|.

a. Étudier les variations de g et ses limites aux bornes de R⋆.

b. Démontrer qu’il existe trois nombres réelsα1,α2,α3, qu’on ne cherchera pas à calculer, tels que :

α1 < 0<α2 < 1<α3

g (α1)= g (α2)= g (α3)= 0.

2. Soit f l’application de R− {0 ; 1} dans R définie par

f (x)= x(1+ ln |x|)

1− x .

Calculer la fonction dérivée f ′. Déduire de la première question l’étude du signe de f ′(x).

3. Soit F l’application de R− {1} dans R définie par {

F (x) = f (x) si x 6= 0 F (0) = 0

a. F est-elle continue en x = 0 ? Est-elle dérivable en ce point ? b. Étudier les variations de F .

c. On considère un plan affine rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

( −→ ı dirigeant l’axe des abscisses, unité 3 centimètres).

Donner l’allure de la courbe représentative C de F dans ce plan. Déter- miner les points d’intersection, autres que O, deC avec la droite d’équa- tion y =−x.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

PROBLÈME 12 POINTS

Soient P un plan vectoriel euclidien, rapporté à une base orthonormée B = (−→ ı ,

−→ )

,

P un plan affine associé à P, O un point de P ; on note R le repère (O ; B) de P . Pour les représentations graphiques dansP onprendra deux centimètres pour unité de longueur. On désigne par L(P) l’ensemble des endomorphismes de P. On rappelle queL (P ) a une structure d’espace vectoriel et que, muni de l’addition et de la com- position des applications, notées respectivement + et ◦, cet ensemble a aussi une structure d’anneau unitaire. On désigne respectivement par e et ’ l’application identique et l’application nulle de L (P ). Si f est un élément deL (P ) et si n est un entier naturel, on note f n l’élément de L (P ) défini par les relations

f 0 = e, f 1 = f , f n = f f n−1 sin > 1.

Partie A

On se propose d’étudier les endomorphismes f de L (P ) vérifiant la relation

f 2+ 1

2 f

5

18 e =ω. (1)

1. Soit g l’endomorphisme de P dont la matrice dans la base B est :

− 1

4 −

7

12

− 7

12 − 1

4

Vérifier que g est solution de (1).

2. a. Déterminer les deux homothéties vectorielles solutions de (1). On ap- pelle k1 et k2 leurs deux rapports avec k1 < k2.

b. Démontrer que la relation (1) est équivalente à la relation

(

f k1e )

◦ (

f k2e )

=ω. (2)

3. Soit f l’endomorphisme de P, autre qu’une homothétie vectorielle, vérifiant (1). On note de la manière suivante deux noyaux et deux images :

N1 = ker (

f k1e )

, N2 = ker (

f k2e )

, I1 = Im (

f k1e )

, I2 = Im (

f k2e )

.

a. Démontrer que I2 = N1 et I1 = N2. En déduire que N1 et N2 sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de P.

b. Soient p1 la projection vectorielle de P sur N1 de direction N2 et

p2 = e−p1. Démontrer le relation :

f = k1p1+k2p2.

En déduire, pour n entier naturel, une expression de f n combinaison linéaire de p1 et p2.

4. On désigne par π le sous-espace vectoriel de L (P ) engendré par p1 et p2 de la question précédente.

a. Quelle est la dimension de π ?

Nantes 2 juin 1980

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

b. Démontrer que (π, +, ◦) est un anneauunitaire. Préciser l’élément neutre de cet anneau.

c. Déterminer les solutions de (1) dans π, autres que f .

5. On suppose désormais que f est l’endomorphisme g définie à la première question.

a. Déterminer N1 et N2. Donner une base de chacun de ces espaces vecto- riels.

b. Vérifier que p1 et p2 sont des projections orthogonales. En déduire que :

x, x ∈P, ‖x‖22= ∥

p1(x) ∥

2+ ∥

p2(x) ∥

2 .

c. Démontrer qu’un élément λ1p1+λ2p2 deπ est une isométrie si et seule- ment si |λ1| = |λ2| = 1. En déduire que l’ensemble des applications de π qui sont des isométries est un groupe dont on précisera les éléments.

Partie B

Soit γ l’application affine deP dansP dont l’endomorphisme associé est l’applica-

tion g du A 1. et telle que γ(O)=O1, O1 étant le point d’abscisse 7

3 et d’ordonnée 5

dans R.

1. Démontrer que γ admet un point invariant unique A dont on donnera les co- ordonnées dans R.

2. a. Démontrer qu’il y a exactement deux droites de P passant par A, globa- lement invariantes par γ. Représenter graphiquement ces droites dans P muni de R.

b. Démontrer que ce sont les seules droites de P globalement invariantes par γ.

3. Soit R′ le repère (

A ; −→ u1 ,

−→ u2

)

où −→ u1 =

p 2

2

(−→ ı +−→

)

dirige l’axe des abscisses et

−→ u1 =

p 2

2

(

−−→ı +−→)

celui des ordonnées.

Soit M0 un point de P . Si n est un entier naturel non nul, on pose M1 = γ (M0) , · · · , Mn = γ (Mn−1).

a. Montrer que l’on peut écrire

−−−→ AMn = kn2 p1

−−−→ AM0 +kn1 p2

−−−→ AM0 .

En déduire que

−−−→ AMn

∥6 (

|k1|n +|k2|n )

−−−→ AM0

∥ .

Que peut-on en déduire pour la suite des points (Mn )n∈N ?

b. Déterminer le réel strictement positifα tel que la courbeCduplanP , re- présentant dansR′ la fonction de R⋆ dans R, x 7−→ |x|α soit globalement invariante par γ.

c. Démontrer que si M0 ∈ C, on a :

n, n ∈N, Mn ∈C.

d. Soit Γ le cercle de P de centre A et de rayon 4. Déterminer une équa- tion de γ(Γ) dans R′. Quelle est la nature de cette courbe ? Préciser ses sommets.

Représenter graphiquement Γ et γ(Γ) sur le dessin de la question B 2. a.

Nantes 3 juin 1980

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome