Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 15, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation d’inconnues, le corps des nombres complexes.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1980 Nice \

EXERCICE 1

1. Résoudre dans Z2 l’équation d’inconnues (x, y),

5x −3y = 2.

2. Un entier naturel A s’écrit 55 en base x et 37 en base y .

Quelles sont les valeurs possibles de x et y ? Déterminer x et y sachant de plus qu’il existe un entier naturel B qui s’écrit 121 en base x et 59 en base y .

3. Écrire A et B dans le système décimal.

EXERCICE 2

Soit C le corps des nombres complexes ; on considère l’application f de C− {1} vers lui-même, telle que

z ∈C− {1}, f (z)= z −2i z − i

.

1. Montrer que f est une involution de C− {1}. 2. Trouver l’ensemble des z ∈C− {1}, invariants par f .

PROBLÈME

Soit E l’espace vectoriel sur R des applications ,continues de R dans R. Soit f un élément de E . On désigne par u( f ) l’application de R dans R définie par

u( f ) : x 7−→ ∫x+1

x f (t)dt .

Partie A

1. Montrer que, pour toute fonction f de E , la fonction u( f ) est dérivable sur R et que sa dérivée est

x 7−→ f (x +1)− f (x).

2. Montrer que u( f ) appartient à E si f appartient à E , et que l’application u : f 7−→ u( f ) est un endomorphisme de E . Donner un exemple de fonction de E qui n’est pas dans l’image de u.

3. Soit α un réel, et soit la fonction x 7−→ cosαx. Calculer u () et déterminer l’ensemble des réels α tels que appartienne au noyau de u.

4. Soit g une fonction de E , périodique de période 1, et vérifiant

∫1

0 g (t)dt = 0.

a. Calculer la dérivée de u(g ).

b. En déduire que g appartient au noyau de u.

Terminale C A. P. M. E. P.

5. Soit s un réel. Montrer que la droite vectorielle de E engendrée par la fonction x 7−→ esx est globalement invariante par u. Déterminer la restriction de u à cette droite (on distinguera les cas s = 0 et s 6= 0).

Partie B

Soit α un réel non nul. On désigne par E le sous-espace vectoriel de E engendré par les fonctions

: x 7−→ cosαx et s.α : x 7−→ sinαx.

1. Montrer que (, ) est une base de E.

2. a. Montrer que l’image u(E) de E par u est contenue dans E.

b. Écrire la matrice de la restriction u de u à E dans la base (, ).

3. On munit E de la structure d’espace vectoriel euclidien orienté pour laquelle la base (, ) est orthonormée directe.Montrer que u est la composée d’une homothétie vectorielle dont on précisera le rapport et d’une rotation vecto- rielle dont on précisera l’angle.

Partie C

1. Soit 1 un nombre réel, et soit f une fonction de E telle que lim+∞ f = 1. Mon-

trer, en revenant à la définition, que l’on a aussi lim +∞

u( f )= 1. On remarquera que

x ∈R, ∫x+1

x f (t)dt 1 =

x+1

x [ f (t)−1]dt .

2. Vérifier rapidement de façon analogue que si lim −∞

f = 2, alors lim−∞ u( f )= 2.

3. On choisit pour f la fonction

f : x 7−→ x

p 1+ x2

a. Montrer que f est strictement croissante sur R et calculer ses limites en −∞ et +∞.

b. Étudier la fonction u( f ) et construire sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Nice 2 juin 1980

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