Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 2, Exercices de Calculs avancés

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: désignation de la fonction logarithme népérien, démontrer que l’endomorphisme ' associé à f est involutif.
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[ Baccalauréat C Dijon juin 1980 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Soit f la fonction numérique de la variable réellex, définie par

f (x)= log ∣

∣tan x

2

où log désigne la fonction logarithme népérien.

Déterminer l’ensemble de définition de f , ainsi que la fonction dérivée pre- mière f ′.

2. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer la valeur exacte du réel

I =

π 3

π 6

1

cos2 t ·sin t dt .

EXERCICE 2 3 POINTS

E désigne un espace affine associé à un espace vectoriel V de dimension 3, rapporté

au repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Soit f l’application affine de E dans E qui, à tout point M de coordonnées (x ; y ; z) associe le point M ′ dont les coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

sont :

x′ = −x+ z

y ′ = −2x+ y + z+2 z ′ = z+4.

1. Démontrer que l’endomorphisme ϕ associé à f est involutif ; le déterminer.

2. Quel est l ?ensemble des points invariants par f ?

3. Soit g la symétrie affine d’endomorphisme associe ϕ qui laisse invariant le

point A de coordonnées(0 ; 1 ; 2). Soit t la translation de vecteur 2 −→ ı +4

−→ +4

−→ k .

Vérifier que f = t g = g t .

PROBLÈME 13 POINTS

Dans tout le problème, (a, b) est un couple donné, élément de R2− {(0, 0)}. On dé- signe par :

P un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→ )

.

P ⋆ l’ensemble P privé de l’origine O.

C ⋆ l’ensemble des nombres complexes privé de zéro (on pourra utiliser les no-

tations ρ et θ pour désigner respectivement le module et un argument d’un élément de C⋆.

A le point de P ⋆ d’affixe 1.

Pour tout couple de points (

M , M ′ )

de P ⋆, d’affixe respective z et z ′, on associe le point d’affixe zz ′, noté MM ′. On définit ainsi une loi de composition interne dans P ⋆.

Partie A

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

1. Soient Q et Q′ les points de P ⋆ d’affixe respective

z = cos π

3 + isin

π

3 et z ′ = 2

(

cos 5π

6 + isin

5π

6

)

.

Représenter les points Q, Q′ et Q ∆ Q′.

2. Démontrer que (P ⋆, ∆) est un groupe commutatif isomorphe à (

C ⋆, ×

)

. Quel est son élément neutre ?

3. On appelle fa, b l’application de R dans P ⋆ qui, à tout réel t , associe le point

M d’affixe eat (cosbt + i sinbt).

Démontrer que fa, b est un homomorphisme de (R, +) dans (P ⋆, ∆).

Le point Q′ a-t-il des antécédents par f0, b ? Lorsque a est non nul, Q a-t-il des antécédents par fa, b ?

En déduire que l’application fa, b n’est pas surjective.

Pour quelles valeurs de a l’application fa, b est-elle surjective ?

4. On appelle Ca, b l’image de R par fa, b .

Reconnaître les ensembles C0, b et Ca, 0.

Démontrer que (

Ca, b , ∆ )

est un sous-groupe de (P ⋆, ∆).

Partie B

Dans cette partie seulement, a est un réel strictement positif, b un réel quelconque. Soit

(

uq )

q∈N la suite arithmétique de premier terme u0 = 0, de raison r , réel stricte-

ment négatif. Pour tout entier naturel q , on désigne par Mq le point fa, b

(

uq )

, dont l’affixe est notée zq .

1. On donne, dans cette questions seulement, a = 1,b = 1,r = − π

4 . Représenter

les points M0, M1, M2, M3, M4 et construire les segments [

Mq ,Mq+1 ]

, q ∈ {0, 1, 2, 3}.

On prendra 10 cm pour unité de longueur.

2. Vérifier que zq = z q 1 et que

zq+1− zq

∣= eaqr |z1−1|.

Endéduire que la suite (vn)n∈N de termegénéral vn = n−1 ∑

q=0

−−−−−−−→ MqMq+1

∥ converge

vers

L(r )=

1+2 (1−cosbr )

(1−ear )2 ear .

Quelle est la limite L de L(r ) lorsque r tend vers 0 ?

Partie C

Dans cette partie, on cherche l’ensemble Sa, b des similitudes directes S de centre O qui laissent Ca, b globalement invariant, c’est-à-dire telles que S(Ca, b)=Ca, b . Étant donné un élément S de Sa, b , on note k son rapport, ϕ une détermination de la mesure de son angle, en radian.

1. Soit M un point quelconque de P, démontrer que S(M)= S(A)∆M .

2. Soit M un élément de Ca, b . On considère les trois propositions :

P1 : S(M) appartient à Ca, b

P2 : S(A) appartient à Ca, b

Dijon 2 juin 1980

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

P3 : il existe une réel T et un élément λ de Z tels que

{

eaT = k bT = ϕ+2λπ.

Démontrer l’équivalence des propositions P1 et P2, puis des propositions P2 et P3.

3. En déduire queSa, b est égal à l’ensemble S ′ a, b des similitudes de centreO, de

rapport eaT , dont une détermination de la mesure de l’angle est bT , lorsque T décrit R.

Dijon 3 juin 1980

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