Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 4, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Représenter l’ensemble des images des éléments de E, Combien le problème posé admet-il de solutions ?
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[ Baccalauréat C Étranger groupe I juin 1980 \

EXERCICE 1

1. Le conjugué d’un élément z de C est noté z. Soit E l’ensemble des éléments u de C tels que

u+u+uu = 0.

Représenter l’ensemble des images des éléments de E.

2. Dans un plan affine euclidien P , on considère un triangle équilatéral ABC de centre O (OA = OB = OC). Soit S l’ensemble des similitudes directes s de P telles que

(s(O)=O) et (A, s(B), s(C)sont alignés).

Préciser l’ensemble décrit par s(A) lorsque s décrit S.

EXERCICE 2

Soit E un espace vectoriel réel de dimension trois, rapporté à une base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

;

OE désigne l’endomorphisme nul de E. On se propose de déterminer

- un endomorphisme f de E tel que f (

−→ ı

)

= −→ ,

- un endomorphisme g de E tel que g (

−→

)

= −→ k ,

ces endomorphismes satisfaisant en outre aux relations

f f =OE, g g =OE, f g = g f

1. On suppose qu’un tel couple ( f , g ) d’endomorphismes existe. Démontrer que l’on a nécessairement

f (

−→ k

)

= g (

−→

)

= −→ 0 , f g =OE.

2. Combien le problème posé admet-il de solutions ?

PROBLÈME

Partie A

Soit f une primitive, sur R, de l’application ϕ qui, à tout réel t , associe

ϕ(t)= 1

−2t2−2t +1 .

1. Soit g l’application de l’intervalle S = ]

π

2 ; +

π

2

[

dans R définie par

g (u)= f

(

1+ tgu

2

)

.

Prouver que g est différentiable sur S, puis que g est une fonction affine.

2. Montrer que 1t e dt π

2 =

∫1

0

1

−2t2−2t +1 dt .

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Partie B

On considère l’application I deN⋆×N⋆ dans R définie par

I (p, q)= ∫1

0 tp (1− t)q dt .

1. En majorant convenablement t(1− t) pour t ∈ [0 ; 1], trouver la limite de la suite u telle que u0 = 1 et

(

n ∈N⋆ )

un = I (n, n).

2. Montrer que

∀(p, q) ∈N⋆×N⋆, I (p+1, q+1)= q+1

p+2 I (p+2, q)

(on pourra utiliser une intégration par parties), puis que

n ∈N⋆, I (n,n) = (n!)2

(2n+1)! .

Partie C

1. Après avoir remarqué que

2t2−2t +1= 1−2t(1− t),

simplifier

1

2t2−2t +1 −1−

n

k=1 2k tk (1− t)k .

2. On considère la suite v telle que v0 = 1 et

n ∈N⋆, vn = 2n (n!)2

(2n+1)! .

Quelle est la limite de la suite w telle que

n ∈N⋆, wn = n

k=1 vk?

Étranger groupe I 2 juin 1980

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