Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 5, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier la continuité et la dérivabilité de f, Déterminer le noyau et l’image de fm.
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[ Baccalauréat C Grenoble juin 1980 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit n un entier positif, θ un réel appartenant à ]0 ; π[. On considère :

Sn = cos2θ+cos2θcos2θ+ . . .+cosp θcos+ . . .+cosn θcosnθ S n = cosθ sinθ+cos

2θ sin2θ+ . . .+cosp θ sin+ . . .+cosn θ sin

n

= Sn + iS n .

Montrer que ∑

n

est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique com-

plexe, dont on déterminera le premier terme et la raison. En déduire la valeur de

n

puis de Sn en fonction de n et θ. (

Onmontrera que Sn = cosn+1θ sinn θ

sinθ

)

.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie par

f (x)= 1− ∣

∣ex −e3x

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f .

2. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative dans un plan

affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

3. Soit λun réel négatif. Déterminer l’aireA (λ) de l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient λ6 x 6 0 et f (x)6 y 6 1.

Montrer que A (λ) a une limite quand λ tend vers −∞.

PROBLÈME 13 POINTS

E désignant un espace vectoriel surR,L (E ) désigne l’ensemble des endomorphismes de E . Si f ∈ L (E ), ker f et Im f désignent respectivement le noyau de f et l’image de f . On rappelle que L (E ) muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R et que L (E ) muni de l’addition et de la loi ◦ de composition des applications est un anneau ; on rappelle que :

∀( f , g )∈ (L (E ))2 , ∀λ ∈R, (λ. f )◦ g =λ.( f g ).

L’application nulle de E dans E est notée θ ; l’identité de E est notée I .

Partie A

Dans cette partie du problème, E est de dimension 3muni d’une base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Pour tout réelm non nul, on définit l’endomorphisme fm par 

fm

(

−→ ı )

= 2m −→ ı m

−→ m

−→ k

fm

(

−→ )

= −m −→ ı +2m

−→ m

−→ k

fm

(−→ k )

= −m −→ ı m

−→ +2m

−→ k

F est l’ensemble des applications fm quandm décrit R⋆.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

1. Déterminer le noyau et l’image de fm .

2. Soit Π le plan vectoriel d’équation x+ y + z = 0.

Déterminer la restriction de fm àΠ.

3. Démontrer qu’il existe une projection vectorielle p et une homothétie vecto- rielle h telles que fm = p h = h hp.

(On pourra par exemple décomposer un vecteur de E sur le noyau et l’image de fm ).

4. Montrer que (F, ◦) est un groupe commutatif.

Préciser l’élément neutre de ce groupe et l’élément symétrique dans F d’un élément fm quelconque.

5. Déterminer l’endomorphisme (

fm )2 −3m · fm

(

(

fm )2

= fm fm

)

.

Partie B

Dans cette partie E est un espace vectoriel de dimension finie ; a, b, c sont trois réels et a est non nul. On considère l’équation

a. f 2+b. f +c.I = θ (1)

dans L (E ) (

f 2 = f f )

.

1. Montrer que si b2−4ac > 0 il existe au moins un endomorphisme f solution de (1).

2. Montrer que si c 6= 0, toute solution f de (1) est un automorphisme de E (on rappelle qu’un automorphisme de E est un endomorphisme bijectif de E ).

3. On suppose que b = c = 0.

a. Montrer qu’une endomorphisme f de E est solution de (1) si et seule- ment si son image est incluse dans son noyau.

b. Que peut-on dire sur l’image et le noyau d’une solution de (1) dans le cas où E est de dimension 2 ou de dimension 3 ?

Partie C

Dans cette partie E est un espace vectoriel sur R, a et b sont deux réels non nuls. On considère l’équation

a. f 2+b. f = θ. (2)

1. Soit f une solution de (C2)

a. Montrer que ker f = ker f 2 et Im f = Im f 2.

b. Montrer que ker f et Im f sont deux sous-espaces supplémentaires de E .

On pourra remarquer que

∀ −→ u E ,

−→ u =

[

−→ u +

a

b f (

−→ u )]

a

b f (

−→ u )

.

c. Déterminer la restriction de f à Im f .

d. Si ker f = { −→ 0 } quelle est l’application f ?

e. Montrer que f est la composée commutable de deux endomorphismes simples que l’on précisera.

2. Soient V ′ et V ′′ deux sous-espaces supplémentaires de E . Montrer qu’il existe une solution unique de (2) telle que ker f =V ′ et Im f =V ′′.

3. Conclure.

Grenoble 2 juin 1980

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