Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 7, Exercices de Calcul avancé

Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 7, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans Z×Z l’équation, Construire la représentation graphique ¡ de la fonction g.
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[ Baccalauréat C La Réunion juin 1980 \

EXERCICE 1

Résoudre dans Z×Z l’équation

7x −4y = 9.

Quelles sont les valeurs possibles du P.G.C.D des couples (x ; y) solutions de l’équa- tion ? Donner la forme générale des couples (x ; y) solutions de l’équation, dont le P.G.C.D est maximum.

EXERCICE 2

Soit la fonction

f : R → R

x 7−→ x + ex

1+ex

et soit C sa représentation graphique dans un plan muni d ?un repère orthonormé.

1. Calculer f (x)+ f (−x). En déduire que C possède un centre de symétrie. 2. Étudier les variations de f dans R+ et construire l’ensemble C1 des points de

C dont les abscisses sont positives.

On précisera la position de C1 par rapport à son asymptote.

3. Calculer l’aire de l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées x et y vérifient

{

0 6 x 6 α f (x) 6 y 6 x +1

α est un réel positif donné, et sa limite quand α tend vers l’infini.

PROBLÈME

Soit d l’application de C dans R ainsi définie ?

z ∈C, z = x + iy, d(z)= inf[y −E(y), E(y +1)− y],

x et y réels.

1. Calculer d(1), d

(

i

2

)

, d

(

1+ 5i

2

)

.

Donner une interprétation géométrique de l’application d en utilisant le point M0 d’affixe z0 et les droites D0 et D ′0 d’équations respectives

y = E (

y0 )

et y = E (

y0+1 )

.

2. Les candidats pourront résoudre cette question, soit par le calcul, soi par une méthode géométrique, utilisant l’interprétation précédente et suivant les cas,

une symétrie orthogonale ou une translation convenablement choisie.

Comparer,

pour tout nombre complexe z, d(−z) et d(z) ; pour tout nombre complexe z et pour nombre entier q, d(z + iq) et d(z) ;

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

pour tout couple de réels x ; y,d (

x + iy ′ )

et d(x+iy) lorsque y ′ = 2E(y)+y+1.

Déterminer l’ensemble des valeurs d(z) lorsque z décrit C.

3. Soit δ l’application de P dansR qui à chaque point M d’affixe z = x+iy associe le nombre réel δ(M)= d(z). Définir et représenter graphiquement dans P l’ensemble des points M tels que δ(M)= 0. On définit de même une application c de C dans R par :

z ∈C, z = x + iy, c(z)= i n f [x −E(x),E(x +1)− x]

pour x et y réels, et l’application correspondante γ, de P dans R, qui à tout point M d’affixe z = x + iy associe le nombre réel γ(M)= c(z). Définir et représenter graphiquement dans P l’ensemble des points M tels que :

δ(M)= 1

4 et γ(z)=

1

2 .

4. Soit T l’application qui, à tout point M de P d’affixe z associe le point M ′ de P d’affixe z ′ telle que :

z ′ = x + id(z) avec x partie réelle de z.

Soit M1 d’affixe 1, M2 d’affixe 1+ i et M3 le milieu du segment M1M2 ; déter- miner leurs images par T .

T est-elle une application affine de P ?

5. On note Ia, b l’ensemble des points M de P dont les affixes z = x+ iy vérifient : a 6 y < b, a et b étant deux réels donnés.

a. Démontrer que la restriction de T à In, n+1, n ∈Z est une translation. b. Démontrer que la restriction de T à In+ 12 ,n+1

, n ∈Z est une symétrie or- thogonale.

6. On considère la fonction

f : R → R

x 7−→ x +

p x2+1

p x2+1

.

Résoudre dans R les équations f (x)= 1

2 et f (x)=

3

2 .

7. Étudier les variations de f est construire sa représentation graphique C dans le plan P. Montrer que C possède un centre de symétrie.

8. Construire la courbe C ′, image de la courbe C par T .

9. Construire la représentation graphique Γ de la fonction g :

g : R → R x 7−→ f (x)−d(x + iy)

x et y sont les coordonnées d’un point M de C.

La Réunion 2 juin 1980

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