Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 8, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelle est la nature de l’application f ? Quelle est la décomposition canonique de f ?
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[ Baccalauréat C Lille juin 1980 \

EXERCICE 1 4 POINTS

P est un plan affine euclidien orienté rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→

u , −→

v )

; le pointM de coordonnées (x ; y) admet pour affixe le nombre complexe

z = x+ iy . On considère l’application f du plan P dans lui-même qui, au point M d’affixe z associe le point M ′ = f (M) dont l’affixe z ′ est définie par :

z?= (1?i ?3)12z?1.

(z = x− iy est le nombre complexe conjugué du nombre complexe z = x+ iy).

1. Quelle est la nature de l’application f ?

2. Déterminer l’application f f ; en déduire l’application réciproque f −1 de f .

3. Quelle est la décomposition canonique de f ?

EXERCICE 2 3 POINTS

On considère trois réels a, b, c. Un sac contient 3 jetons marqués respectivement a, b, c. On tire au hasard un jeton, on le remet dans le sac, et on tire à nouveau un jeton. Les tirages sont supposés équiprobables. On définit la variable aléatoire X qui, à chaque couple de tirages ainsi décrits, associe le produit des nombresmarqués sur les deux jetons tirés.

1. Montrer que l’espérance mathématique de X (notée E(X)) est égale à 1 9 (a + b + c)2. Calculer l’espérance mathématique de X2 (notée E(X2)).

2. a. Démontrer que si a, b, c (dans cet ordre) sont trois termes d’une suite géométrique alors (a+b+c)(ab+c)= a2+b2+c2.

b. Déterminer les triplets a,b,c pour lesquels a,b,c sont dans cet ordre trois termes positifs d’une suite géométrique avec E(X )= 49 et E

(

X 2 )

= 8281.

PROBLÈME 13 POINTS

Le plan affine euclidien P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

. On note

P le plan vectoriel euclidien associé.

Partie A

À chaque réel a, on associe la fonction numérique de la variable réelle x 1. : x 1-+ 1. (x) = a(1 - x) + Log x. (logx est le logarithme népérien de x).

1. Établir le tableau de variation de la fonction 1.. (On distinguera les cas a 0 et a > 0). A quelle conditionf. est-elle une bijection de IR sur IR ?

2. On appelle (C.) la courbe représentative de 1. dans le repère (0, i, j). Montrer que les courbes (C.) ont un point commun, A, que l’on déterminera.

3. Étudier fi et tracer sa courbe représentative (Cd dans le repère orthonormé (0, i, j), d’axes x’Ox, y’Oy. (Unité : 2 cm). On étudiera les branches infmies de (Cl)’

4. Calculer, en fonction de a et À, l’intégrale I.(À) = r 1. (x) dx, où

Montrer que I.(À) admet, lorsque À tend vers 0, une limite indépendante de a.

Partie B

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Dans l’espace vectoriel euclidien P, on considère l’endomorphisme σa dont la ma-

trice dans la base orthonormée (

−→

ı , −→

)

est

M =

(

a 1 1 −a

)

.

1. Montrer que pour tout a,σa est bijectif. Déterminer la matrice, dans la base (

−→

ı , −→

)

, de l’endomorphisme réciproque (σa )−1.

2. Dans le plan affine euclidien P , on considère l’application affine sa , d’endo-

morphisme associéσa , transformant l’origine du repère (

O, −→

ı , −→

)

en le point

O′ de coordonnées (−1 ; +1).

Étant donné un point quelconque M de P , soit M ′ son image par sa . Donner les expressions des coordonnées x′, y ′ de M ′ en fonction des coordonnées x, y deM .

3. a. Si l’on note z ′ = x′ + iy ′ l’affixe de M ′ et z = x + iy , celle de M, montrer que z ′ et z sont liées par une relation de la forme z ′ =αz+β, où z est le conjugué de z, et α et β, des nombres complexes que l’on explicitera.

b. Quelle est la nature de sa ? En donner les éléments caractéristiques : axe, rapport, et centre éventuel. (On examinera séparément le cas a = 0).

c. Quelle est la nature de la composée sa sa . ? En donner les éléments ca- ractéristiques.

Partie C

On note (Γa) l’image de (Ca) par sa .

1. Montrer que (Γa) est la courbe représentative, dans le repère (

O, −→

ı , −→

)

, de la

fonction ga :

ga : x 7−→−axa+1+ (

1+a2 )

ex+1−a .

2. Étudier la fonction

g1 : x 7−→−x+2e x .

et construire la courbe (Γ1) dans le même repère que (C1).

Lille 2 juin 1980

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