Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 9, Exercices de Calcul avancé

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble de définition de f et les variations de f, Montrer queS muni de la loi ± de composition des a...
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[ Baccalauréat C Lille septembre 1980 \

EXERCICE 1

On considère l’anneau (Z/20Z ; + ; ×) dont on notera les éléments :

0̇ ; 1̇ ; . . . ; ; . . . ; 1̇9 ; p ∈ [1 ; 19].

1. Démontrer que p est inversible dans (Z/20Z) si, et seulement si, p et 20 sont premiers entre eux.

En déduire les éléments inversibles de (Z/20Z).

2. Résoudre dans (Z/20Z×Z/20Z)le système {

4̇x+ 3̇y = 1̇0 5̇x+ 6̇y = 1̇7.

EXERCICE 2

On considère la fonction numérique f d’une variable réelle définie par

f (x)= (x−1)Log |x−1|− xLog x

(Log représente la fonction logarithmique népérien).

1. Déterminer l’ensemble de définition de f et les variations de f

2. Soit la fonction g définie par

g (0) = 0, g (1) = 0, g (x) = f (x) ∀x ∈]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.

Démontrer que g est continue en 1 et à droite en 0.

g est-elle dérivable en 1 ? à droite en 0 ?

3. Démontrer que f (x) admet pour limite −∞ lorsque x tend vers +∞. On pourra remarquer que

x ∈]1 ; +∞[, f (x)= xLog (

1− 1

x

)

−Log(x−1).

4. Terminer l’étude de la fonction g et représenter graphiquement g dans un

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. (On choisira pour unité : 2 cm.)

5. Soit λ ∈ ]

1

2 ; 1

[

. Calculer en cm2 l’aire de l’ensemble des points M de coor-

données x, y dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

, tels que

1

2 6 x6λ, 06 y 6 g (x).

PROBLÈME

Partie A

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

E étant un espace vectoriel euclidienmuni d’unebase orthonorméeB = (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

,

on désigne par S l’ensemble des automorphismes ϕ de E qui conservent l’ortho- gonalité », c’est-à-dire

ϕ ∈S , (−→ V ,

−→ W

)

∈ E ×E , (−→ V

−→ W = 0⇒ϕ

(−→ V

)

· ϕ (−→ W

)

= 0 )

.

1. Vérifier que les homothéties vectorielles et les isométries vectorielles de E ap- partiennent à S .

2. a. Démontrer que l’image par ϕ de la base B est une base B′ de E ortho- gonale et dont les vecteurs ont même norme. [

On pourra utiliser des vecteurs tels que (−→ ı −−→

)

et (−→ ı +−→

)

. ]

On posera alors ∥

ϕ (−→ ı ) ∥

∥=α.

b. Démontrer que ∀−→V ∈ E , ∥

ϕ (−→ V

) ∥

∥=α

−→ V

∥.

Le réel α sera appelé rapport de ϕ.

c. Démontrer que ϕ est la composée commutative d’une isométrie vecto- rielle unique et de l’homothétie vectorielle de rapport α.

3. Soit un endomorphisme u non nul de E vérifiant

u (−→ ı )

·u (−→ )

=u (−→ )

·u (−→ k )

=u (−→ k )

·u (−→ ı )

= 0

et

u (−→ ı )∥

∥= ∥

u (−→ )∥

∥= ∥

u (−→̨)∥

∥ ;

montrer que u est un élément de S .

Application. - Soit u l’endomorphisme de E défini par

u (−→ ı )

=−→ı −2−→−2 −→ k ;u

(−→ )

=−2−→ı +−→−2 −→ k ;u

(−→ k )

=−2−→ı −2−→+ −→ k .

Montrer que u est élément de S . Déterminer son rapport.

Écrire u comme composé d’une homothétie vectorielle et d’une isométrie vectorielle que l’on précisera.

4. Montrer queS muni de la loi ◦ de composition des applications est un groupe non commutatif.

Partie A

Soit f1, f2, f3 les fonctions numériques de la variable réelle x définies par

f1(x)= cos4x, f2(x)= sin4x, f3(x)= p 2

2

et F l’espace vectoriel réel engendré par f1, f2, f3.

1. a. Démontrer que, pour tous g et h éléments de F , g ×h est intégrable sur [

0 ; π

2

]

. Calculer, pour tous p et q , éléments de {1, 2, 3},

π 2

0 fp (x) fq (x)dx.

Lille 2 septembre 1980

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. Soit θ l’application de F ×F vers R définie par

θ(g ,h)= 4

π

π 2

0 g (x)h(x)dx.

On pose

g = a f1+b f2+c f3 et h = af1+bf2+c f3.

Calculer θ(g , h) en fonction des réels a, b, c, a′, b′, c ′. En déduire que θ est un produit scalaire surF et que

(

f1, f2, f3 )

est une base orthonormée de F .

2. a. Pour tout n élément de N⋆ calculer les dérivées d’ordre n des fonctions f1, f2, f3 que l’on notera respectivement f

(n) 1 , f

(n) 2 , f

(n) 3 .

En déduire que, pour tout g élément de F , g (n) existe.

b. Pour tout n élément de N⋆, on considère l’application ϕn de F vers F qui à

g = a f1+b f2+c f3 associe ϕn (g )= g (n)+4nc f3.

Quelle est l’image par ϕ1 de la base (

f1, f2, f3 )

?

Montrer que ϕ1 est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une isométrie vectorielle que l’on précisera. Mêmes questions pour ϕ2, pour ϕ3.

Quels sont les entiers naturels n tels que ϕn soit une homothétie vecto- rielle ?

Lille 3 septembre 1980

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