Exercitation - théorie de calcul 1, Exercices de calcul. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 1, Exercices de calcul. Université Bordeaux I

PDF (44.3 KB)
3 pages
318Numéro de visites
Description
Exercitation sur la théorie de calcul 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé direct, la rotation d’axe, les coordonnées du point.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AixMarseilleCjuin1984.dvi

[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) un repère orthonormé direct de l ?espace E.

On désigne par :

R1 la rotation d’axe Oz orienté par −→ k , et d’angle

π

6

R2 la rotation d’axe Oz orienté par −→ k , et d’angle

5π

6

T1 la translation de vecteur

( 1

2

−→ k

)

T2 la translation de vecteur ( −2

−→ k )

On considère les vissages : V1 = R1 ◦T1 = T1?R1etV2 =R2 ◦T2 = T2 ◦R2.

1. Étant donné un point M quelconque de E, calculer en fonction des coordon- nées (x ; y ; z) de M les coordonnées des points suivants :

V1(M),V2(M),V1 ◦V2(M),V2 ◦V1(M).

2. Caractériser les transformations V1 ◦V2 et V2 ◦V1, et expliquer sans calculs les résultats obtenus.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan P muni du repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) , on définit les trois points :

A(1 ; 0) ; B

( 3

2 ; 1

2

) ; C

( 3

2 ; −

1

2

)

et la droiteD dont une équation est : x = 1.

1. Déterminer les coordonnées du point G tel que −−→ CG =

−−→ AB .

Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, G, C) ?

2. On note (Γ) l’ensemble des pointsM de P, de coordonnées (x ; y), qui vérifient la relation :

MA2+MB2+MC2 = 2(x−1)2 .

a. Montrer que B et C appartiennent à (Γ).

b. Montrer que (Γ) est l’ensemble des points M de P tels que :

MG= p 2d(M , D)

d(M , D) désigne la distance deM à la droiteD.

c. En déduire la nature de (Γ) et préciser ses éléments remarquables. Re-

présenter (Γ) dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) .

PROBLÈME 12 POINTS

N.B. : Il n’est pas nécessaire d’avoir traité la partie A pour aborder la suite.

1. Aix-Marseille - Nice - Corse - Montpellier - Toulouse

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

Soit P unplan affine euclidienorienté rapporté au repère orthonormédirect ( O,

−→ ı ,

−→

) ;

les points de P sont repérés, soit par leurs coordonnées (x ; y), soit par leur affixe x+ iy . Le but du problème est l’étude de l’ensemble (Γ) des points M(t), t ∈ R, du plan P, de coordonnées (x(t) ; y(t)) telles que :

{ x(t) = et cos t y(t) = et sin t .

Partie A

1. a. Vérifier, pour tout réel t , les relations :

cos t − sin t = p 2cos

( t +

π

4

)

et

cos t + sin t = p 2sin

( t +

π

4

) .

b. Étudier les variations des fonctions x : t 7−→ x(t) et y : t 7−→ y(t) sur l’in-

tervalle [ 0 ;

π

2

] .

c. Tracer dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) la portion de (Γ), ensemble des points

M(t) lorsque t décrit [ 0 ;

π

2

] .

(on aura soin, enparticulier, des représenter les pointsM(0), M(π/4), M(π/2) et les tangentes à (Γ) en ces points.)

2. Calculer, pour tout réel t :

cos

 

á −−−→ OM ;

d −−−→ OM

dt

  et sin

 

á −−−→ OM ;

d −−−→ OM

dt

  .

En déduire que l’angle

 

á −−−→ OM ;

d −−−→ OM

dt

  est constant et en donner une mesure.

3. On pose, pour tout réel a et b, Lba = ∫b

a

∥∥∥∥∥ d −−−→ OM

dt

∥∥∥∥∥ dt .

Donner l’expression L π

2 0 et en calculer une valeur approchée à 10

−2 près.

Étudier la limite éventuelle de L0t lorsque t tend vers −∞.

Partie B

1. Montrer que les fonctions x et y sont des solutions surR d’unemêmeéquation différentielle linéaire et homogène du second ordre à coefficients constants.

2. Résoudre dans R l’équation différentielle :

X ′′−2X ′+2X = 0.

Partie C

1. Pour tout réel t , on note ft l’application de P dans P qui, au point M d’affixe Z fait correspondre le point M1 d’affixe Z1 telle que Z1 = z(t)Z , où z(t) est l’affixe du point M(t) défini dans la partie A.

a. Préciser la nature de ft et ses éléments remarquables.

Aix-Marseille 2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

b. Montrer que, pour tout t et t ′ réels, ft ft ′ = ft+t ′ .

Soit G l’ensemble des applications ft , t ∈ R. Montrer que (G, ◦) est un groupe commutatif des transformations du plan P.

2. a. Montrer que, pour tout t et t1 réels, ft (M (t1)) = M (t + t1). En déduire que, pour tout réel t , ft (Γ)= (Γ).

b. Montrer que, si M1 =M (t1) est un point quelconque de (Γ), l’ensemble :{ ft (M1) , t ∈R

} est égal à (Γ).

Partie D

Soit t un réel fixé non nul. On note A0 le pointM(0) et on définit les points An(n ∈N∗

par la relation de récurrence :

An = ft (An−1) si n> 1.

1. a. Calculer en fonction de t la longueur A0A1.

b. Montrer que la suite (An−1An) des longueurs An−1An est une suite géo- métrique.

c. En déduire une expression de :

Ln (t)= A0A1+ A1A2+·· ·+ An−1An en fonction de n et t .

2. On suppose t < 0. Montrer l’existence de lim n→+∞

Ln(t) et calculer sa valeur L(t).

Montrer que e2t −2et cos t +1

( 1−et

)2 = 1+2e t 1−cos t( 1−et

)2 .

En déduire la limite de L(t) lorsque t tend vers zéro par valeurs négatives. Comparer ce résultat à la limite de L0t trouvée au A 3.

Aix-Marseille 3 juin 1984

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome