Exercitation - théorie de calcul 10, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 10, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres complexes, l’application f.
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[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

θ désigne un nombre réel appartenant à [0 ; 2π[.

1. Résoudre dans C, ensemble des nombres complexes, l’équation d’inconnue z :

z2− (

2θ+1 cosθ )

z+22θ = 0.

Donner chaque solution sous forme trigonométrique.

2. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on considère les

points A et B dont les affixes sont les solutions de l’équation précédente.

Déterminer θ demanière à ce que OAB soit un triangle équilatéral.

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans le plan P , on considère trois points A, B et C tels que :

−−→ AB

∥=

−−→ AC

∥= 4d et ∥

−−→ BC

∥= 2d ,

d est un réel strictement positif donné. On considère les points A, B et C affectés respectivement des coefficients λ, 1 et 1 où λ∈R− {−2}.

1. Déterminer l’ensemble ∆ des barycentres Gλ de ces points quand λ décrit R− {−2}.

2. Dans le cas où λ=−1, on appelle G le barycentre des points affectés respecti- vement des coefficients −1, 1 et 1.

a. Déterminer G.

b. Déterminer l’ensemble E des points M du plan vérifiant l’égalité :

−−→ MB

2 +

−−→ MC

2 =

−−→ MA

2 .

3. a. Démontrer que pour tout point M du plan P , −−→ MB +

−−→ MC −2

−−→ MA est un

vecteur constant que l’on déterminera.

b. Déterminer l’ensemble ∆′ des points M du plan P tels que :

−−→ MB

2 +

−−→ MC

2 −2

−−→ MA

2 = 32d2.

PROBLÈME 11 POINTS

On considère l’application f de ]−1 ; +∞[ dansR défini par :∀x ∈]−1 ; 0[∪]0 ; +∞[,

f (x)= ln(1+ x)

x et f (0)= 1.

C désigne la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

1. Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Poitiers, Rennes

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

1. Étudier la continuité de f sur ]−1 ; +∞[.

2. Étudier la dérivabilité de f sur ]−1 ; +∞[.

Expliciter la fonction dérivée f ′.

3. a. On note g l’application de ]−1 ; +∞[ dans R définie par :

g (x)= x

x+1 − ln(1+ x).

Étudier les variations de g et le signede g (x). (Onnedemandepas l’étude de la limite de g pour x =−1)

b. En déduire les variations de f .

4. Étudier les limites de f aux bornes de l’intervalle ]−1 ; +∞[.

5. Construire la courbeC . Préciser les droites asymptotes et la position deC par rapport à l’axe des abscisses.

6. Déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse 0 et étudier la position de C par rapport à cette tangente (on étudiera les variations de

l’application h de ]−1 ; +∞[ dans R définie par h(x) = x2 (

1

2 + f ′(x)

)

, puis le

signe de h(x)).

Partie B

1. Démontrer qu’il existe un unique nombre réel de l’intervalle ]0 ; 1[ tel que f () = . (On pourra considérer la fonction k(x) = f (x)− x sur [0 ; 1]. On ne demande pas de calculer ).

2. On considère la suite (un )n∈N définie par :

u0 = 1

2 et un+1 = f (un ) .

a. Démontrer que : ∀n ∈N,un ∈]0 ; 1[.

b. Démontrer que : ∀n ∈ N, |un+1−| 6 1

2 |un |. (On remarquera que

un+1−= f (un )− f () et on utilisera le résultat :

x ∈ [0;+∞[, − 1

2 6 f ′(x)< 0).

c. En déduire que la suite (un )n∈N converge vers .

Partie C

1. a et b sont deux nombres réels de l’intervalle ]−1 ; +∞[ tels que a < b, établir les inégalités :

(ba) f (b)6 ∫b

a f (x)dx6 (ba) f (a).

En déduire un encadrement de l’aire de la partie du plan limitée par l’axes des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x = 0 et x = 1, en utilisant la

subdivision

(

0 ; 1

5 ; 2

5 ; 3

5 ; 4

5 ; 1

)

.

2. Trouver la limite de ∫t

0 f (x) dx lorsque t tend vers +∞ (on pourra utiliser le

résultat :

x ∈ [0 ; +∞[, 1

x+1 − f (x)6 0

que l’on déduira du signe de f ′(x).

Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Poitiers, Rennes

2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

3. a. Démontrer que :

x

]

−1 ; − 1

2

]

, 0< f (x)6−2ln(x+1).

En déduire que, pour tout nombre réel t de l’intervalle

]

−1 ; − 1

2

]

on a :

06 ∫

− 1 2

t f (x)dx < 1+ ln2.

b. On considère la suite (vn)n∈N de terme général

vn =

∫0

−1+ 1n

f (x)dx.

Étudier la croissance de cette suite.

Démontrer que cette suite est convergente.

Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Poitiers, Rennes

3 juin 1984

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