Exercitation - théorie de calcul 12, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 12, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des solutions, les asymptotes à la courbe représentative.
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[ Baccalauréat C Centres d’Outre-Mer \ septembre 1983

EXERCICE 1

A. Question préliminaire : résoudre dans R, l’équation :

e2x −4ex +3= 0.

On notera S l’ensemble des solutions. B. On considère la fonction f de la variable réelle x définie dans R−S par

x 7−→ f (x)= ln ∣∣e2x −4ex +3

∣∣

où la notation ln représente le logarithme néperien.

1. Résoudre dans R l’inéquation e2x −4ex +3> 0.

2. Calculer lim x→+∞

[ lne2x

( 1−4e−2x +3e−2x

) −2x

] .

3. Étudier et représenter graphiquement, dans un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) ,

la fonction f . On précisera les asymptotes à la courbe représentative. Onpren- dra comme unité 2 cm, et on donne

ln2≈ 0,7 et ln3≈ 1,1.

EXERCICE 2

Soit E un plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) .

1. Soit Γ l’ensemble des points de E dont les coordonnées (x ; y) dans ( O,

−→ ı ,

−→

)

vérifient :

(1) 16x4+72x2y2+81y4−576x2 = 0.

Montrer que Γ est la réunion de deux coniques qu’on déterminera et qu’on représentera.

(On pourra écrire, dans (1), le membre de gauche comme différence de deux carrés.)

2. Déterminer la trajectoire dupointM dont les coordonnées (x ; y) dans ( O,

−→ ı ,

−→

)

sont données en fonction du temps t par :

{ x = 3(−1)E

( t+π 2π

) (1+cos t)

y = 2sin t avec t ∈ [0 ; 4π].

Préciser le déplacement deM sur sa trajectoire.

(On rappelle que, pour tout α∈R, E(α) désigne l’entier relatifm tel que

m6α<m+1 ; on pourra envisager successivement les cas suivants :

t ∈ [0 ; π[, t ∈ [π ; 3π[, t ∈ [3π ; 4π].)

Terminale C A. P. M. E. P.

PROBLÈME

Ondésigne parP un plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v

) . À tout point

M du plan P de coordonnées (x ; y) est associé le nombre complexe z = x + iy , appelé affixe du point M .

On désigne par P ′ le plan P privé de la droite passant par O et dirigée par −→ u , par C′

l’ensemble C des nombres complexes privé de R.

1. Soit z un élément de C′ et t un réel. Montrer que z sin t + cos t n’est pas nul et, posant z = x + iy , déterminer en fonction de t , x, y les parties réelles et imaginaires de

z ′ = z sin t −cos t

z sin t +cos t .

Établir que z ′ est élément de C′.

Dans toute la suite du problème, pour tout réel t , on désigne par ft l’applica- tion de C′ dans C′ telle que

ft (z)= z sin t −cos t

z sin t +cos t

L’application de P ′ dans P ′ qui, au point M ′ d’affixe z ′ = ft (z) sera notée Ft .

2. Rechercher les points invariants de Ft . Discuter selon les valeurs de t .

3. Montrer que, pour tout couple (t ; t ′) de réels, Ft+t ′ = Ft Ft ′ . En déduire que l’ensemble F des applications Ft t décrit R, muni de la loi de composition des applications, est un groupe abélien.

4. Soit D la droite passant par O et dirigée par −→ v , privée du point O.

On se propose de déterminer l’ensemble E des points de P ′ dont l’image par Ft , appartient à D.

Établir, en s’aidant des résultats obtenus dans la première question :

a. que si sin2t = 0,E =D. Donner alors les applicationsFt correspondantes, et montrer que toutes ces applications sont involutives.

b. que si sin2t 6= 0, E est alors une partie, à préciser, d’un cercle.

5. Dans cette question, t désigne un réel de l’intervalle ]0 ; π[.

On note Ω1 etΩ2 les points du plan P d’affixes respectives −cotg t et +cotg t .

a. Pour tout nombre complexe z deC, exprimer en fonction de t le produit :

( ft (z)−cotg t

) (z+cotg t)

En déduire une relation liant ∥∥∥ −−−−→ Ω2M

∥∥∥ et ∥∥∥−−−−→Ω1M

∥∥∥, et une relation liant les

angles de vecteurs á(−→

u , −−−−→ Ω2M

′ ) et

á(−→ u ,

−−−−→ Ω1M

) .

(On rappelle que M ′ désigne Ft (M).)

b. Utiliser la question 5. a. pour construire géométriquement le point M

correspondant au point M de coordonnées

( − 5

2 ; 2

) pour t =

π

4 .

c. Utilisant encore les résultats de 5. a., déterminer l’image par Ft , de l’en- semble des points de P ′ appartenant à un cercle centré en Ω de rayon non nul.

6. On note A et B les points d’affixes respectives i et −i. Le point M0 d’affixe z0 est supposé fixé et d’ordonnée non nulle. On se propose de déterminer l’en- semble G des points Ft (M0) quand t décrit R.

Centres d’Outre-Mer 2 septembre 1983

Terminale C A. P. M. E. P.

a. Établir la relation :

ft (z0)− i

ft (z0)+ i = (cos2t − isin2t)

z0− i

z0+ i

b. Montrer que si un point M ′ = Ft (M0) appartient à G , alors AM

BM ′ =

AM0 BM0

.

Étudier le problème réciproque.

Établir, que l’ensemble des points M ′ tels que M ′A

M ′B = k avec k ∈R⋆+− {1})

est un cercle, et conclure à propos de G .

Centres d’Outre-Mer 3 septembre 1983

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