Exercitation - théorie de calcul 13, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 13, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espace affine euclidien, les variations, l’existence d’un unique triplet.
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[ Baccalauréat C Étranger groupe I bis juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans l’espace affine euclidien E , on donne un cube ABCDEFGH. Soit I le milieu de J’arête [HD] et J le point tel que D soit le milieu du segment [JH].

1. Établir que le plan (ACI) est le plan médiateur du segment [FJ].

2. Une application affine A de l’espace E laisse les points A, C, I invariants et transforme F en J.

Démontrer que si A est unique et est une isométrie que l’on caractérisera.

+

+

A B

C D

E F

GH

I

J

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère, dans l’ensemble C, l’équation (E) d’inconnue z :

z3− z2− (1+ i)z−2+2i= 0.

1. Sachant que (E) admet une solution réelle, la déterminer puis résoudre l’équa- tion (E) dans l’ensemble C.

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

, les trois

points dont les affixes respectives sont les trois solutions de l’équation (E) dé- finissent un triangle : démontrer que ce triangle est rectangle et isocèle.

PROBLÈME 12 POINTS

À tout entier naturel n non nul, on associe l’application fn ainsi définie :

fn :

R− → R

0 7−→ 0 x < 0 x : 7−→ (1+ x)ne(n+1)x .

On note Cn la courbe représentative de fn dans un plan rapporté à un repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité de longueur : 4 cm).

Partie A

Dans cette première partie, l’entier naturel n prend les valeurs 1 et 2.

1. Étudier la dérivabilité de f1 et f2 au point O.

2. Étudier les variations de f1 et f2.

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

3. Quel est le développement limité au voisinage de 0 et à l’ordre 3 de la fonction exponentielle : X 7−→ eX ?

En effectuant le changement de variables X = 1

nx , justifier la propriété, pour

tout réel x strictement négatif

e 1 nx = 1+

1

nx +

1

nx +

1

2n2x2 +

1

6n3x3 ǫ(x),

ǫ désigne une application définie sur R telle que lim x→−∞

ǫ= 0.

a. Prouver l’existence d’ununique triplet (a,b,c) et d’ununique quadruplet (α, β, γ, δ) de réels tels que, sur R⋆

− :

f1(x)= ax+b+ c

x +

1

x ǫ1(x), lim

x→−∞ ǫ1(x)= 0.

f2(x)=αx 2 +βx+γ+

δ

x +

1

x ǫ2(x), lim

x→−∞ ǫ2(x)= 0.

b. En déduire l’existence d’une droite asymptote D1 pour la courbe C1 et d’une parabole asymptote Γ2 pour la courbe C2.

On précisera les positions relatives des courbes asymptotes.

4. Tracer dans un repère, la courbeC1 puis, dans un autre repère, les courbesC2 et Γ2.

Partie B

Dans cette deuxième partie, on revient au cas général.

1. Étudier la dérivabilité de fn au point 0.

2. Étudier les variations de fn et ébaucher la courbe représentative Cn de l’ap- plication fn suivant la parité de n.

3. Chaque courbeCn présente un sommet An d’abscisse− 1

n+1 ; onnote yn l’or-

donnée du point An .

Les suites, de terme général ln yn et yn , sont-elles convergentes ? Si oui, préci- ser leurs limites.

4. On désigne par un l’ordonnée du point de la courbe Cn d’abscisse − 1

10 .

a. Donner une valeur approchée décimale à 10−3 près par défaut de u1, u2,

u3, u4

b. En étudiant un+1

un , établir que la suite de terme général un est décrois-

sante à partir du rang n0 que l’on précisera.

c. Étudier la limite éventuelle de la suite de terme général un .

Étranger groupe I bis 2 juin 1984

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