Exercitation - théorie de calcul 14, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 14, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation différentielle, les mesures d’angles orientés de droites.
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[ Baccalauréat C Étranger groupe I juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Déterminer la solution f de l’équation différentielle :

y ′′−2y ′+2y = 0,

sachant que :

f (0)= 1 ; f ′(0)= 0.

EXERCICE 2 4 POINTS

On se propose d’étudier la suite u, de terme général un , définie par :

u0 = 1

2 ; un+1 =

eun

un +2 .

1. Soit f l’application de l’intervalle [0 ; 1] de R dans R définie par

f (x)= ex

x +2 .

a. Calculer f ′(x), f ′′(x).

b. Étudier le sens de variation de f . Quelle est l’image du segment [0 ; 1] par f ?

c. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1],

1

4 6 f ′(x)<

2

3 .

d. Établir que l’équation f (x) = x admet une solution unique dans l’inter- valle [0 ; 1].

2. a. Prouver que si la suite u admet une limite , alors f ()= .

b. En utilisant le 1. c., démontrer que, pour tout entier n :

06 un+1−

un 6

2

3 .

En déduire que la suite u converge vers et déterminer un entier n0 tel que si n > n0, alors |un | < 10−3.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit, dans le plan affine euclidien, un triangle A1A2A3. À tout point M du plan, distinct des sommets A1, A2, A3, du triangle, on associe :

– les points M1, M2, M3, symétriques de M dans les symétries orthogonales s(A2A3), s(A3A1), s(A1A2) d’axes respectifs les droites (A2A3), (A3A1), (A1A2).

– Les droites∆1,∆2,∆3 issues des sommets A1, A2, A3 et respectivement perpen- diculaires aux droites (M2M3), (M3M1), (M1M2). Les symétries orthogonales d’axes ∆i , i ∈ [1 ; 3], sont notées si .

1. Démontrer que ∆1 est la médiatrice du segment [M2M3].

2. Soit s = s(A1A2) ◦ s∆1 ◦ s(A1 A3).

a. Quelle est la nature de s ?

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

b. Déterminer s(A1), s(M). Caractériser s.

c. Démontrer l’égalité entre mesures d’angles orientés de droites :

á(A1A2, A1M)= á(∆1, A1A2) [π] (1)

3. Établir de manière analogue,

á(A2A1, A2M)= á(∆2, A2A3) [π] (2)

á(A3A2, A3M)= á(∆3, A3A1) [π] (3)

4. Montrer que l’ensemble (C ) des points M duplan, distincts des sommets A1 ,A2,A3 tels que les points M1, M2, M3 soient alignés est contenu dans le cercle cir- conscrit au triangle A1A2A3.

5. On suppose dans cette question, que le point M n’appartient pas à (C ).

a. Démontrer que les droites ∆1, ∆2, ∆3 sont concourantes en un point P que l’on caractérisera pour le triangle M1M2M3.

Dans la suite du problème ce point P est appelé l’associé du point M .

b. Quel est l’associé d’unpoint M appartenant aux côtés du triangle A1 A2A3 et distinct des sommets de ce triangle ?

c. On suppose que le point M n’appartient pas aux supports des côtés du triangle A1A2A3. Démontrer, en utilisant les relations (1), (2), (3), que si M a pour associé P alors le point P a pour associé M .

Étranger groupe I 2 juin 1984

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