Exercitation - théorie de calcul 15, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 15, Exercices de Théorie de calcul

PDF (32.0 KB)
2 pages
248Numéro de visites
Description
Exercitation sur la théorie de calcul 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’hyperbole d’équation cartésienne, la fonction numérique de la variable réelle.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Grenoble C sept. 1984.dvi

[ Baccalauréat C groupe 3 1 septembre 1984 \

EXERCICE 1

EXERCICE 3

Leplan euclidien est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Pour les représenta-

tions graphiques, on adoptera pour unité de longueur 2 cm.

Partie A

1. Soit (H) l’hyperbole d’équation cartésienne

y2−4x2 = 4.

Représenter graphiquement (H) enprécisant les coordonnées de ses sommets et des équations cartésiennes de ses asymptotes.

Déterminer l’excentricité et les coordonnées des foyers de (H).

2. Soient F et F′ les points de coordonnées respectives (

0 ; p 3 )

et (

0 ; − p 3 )

3. Déterminer une équation cartésienne de l’ellipse (E ) de foyers F et F′ et d’ex-

centricité

p 3

2 .

Représenter graphiquement (E ) enprécisant les coordonnées de ses sommets.

Partie B

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

{

f (x) = −2 p 1− x.|x| pour x 6 1

f (x) = ln (

x+ p x2−1

)

pour x > 1

1. Vérifier que les formules précédentes définissent f (x) pour tout réel x. La fonction f est-elle continue ?

2. a. Démontrer que f est dérivable sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[, ]0 ; 1[, ]1 ; +∞[ et calculer f ′(x).

b. Démontrer que f est dérivable en 0 en préciser la valeur de f ′(0) : on pourra utiliser le développement limité à l’ordre 1 de la fonction

t 7−→ p 1+ t au voisinage de 0.

c. Étudier le comportement du rapport f (x)− f (1)

x−1 quand x tend vers 1

par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. Pour x > 1, on pourra poser x −1 = u et utiliser le développement limité d’ordre 1 de la fonc- tion t 7−→ ln(1+ t) au voisinage de 0 ou le comportement de la fonction

t 7−→ ln(1+ t)

t au voisinage de 0.

3. Démontrer que la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle ]−∞ ; 1] est un sous-ensemble de (E ) ∪ (H). ((E ) et (H) étant les coniques considérées dans la partie A.)

Étudier les variations de f et tracer la courbe (C ) représentative de f .

Préciser les tangentes à la courbe (C ) aux points d’intersection avec les axes de coordonnées.

1. Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

Partie C

1. Démontrer que f est une bijection de R sur R. Tracer sur le même graphique que (C ) la courbe

(

C ′ )

représentative de f −1, fonction réciproque de f .

2. Si x > 1, démontrer l’égalité : f −1(x)= ex +e−x

2 .

3. Si a> 0, calculer ∫a

0 f −1(x)dx.

En déduire, pour tout t > 1, la valeur S(t) de l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C ), l’axe x′Ox et les droites d’équations x = 1 et x = t .

Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

2 septembre 1984

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome