Exercitation - théorie de calcul 3, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 3, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien, la partie réelle de l’affixe, l’expression analytique de f.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1984 \

EXERCICE 1 points

On considère la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R par :

f (x)= e−x · ln (

1+ex )

.

Soit (C ) la courbe représentative de f dans le plan affine euclidien Pmuni du repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Démontrer que : X

X +1 − ln(1+X )< 0 pour tout X > 0.

En déduire le sens de variation de f .

2. Étudier lim x→+∞

f (x) et lim x→−∞

f (x).

3. Tracer la courbe (C ) dans le plan P.

EXERCICE 2 points

Soit (un ) la suite numérique définie surN par :

{

u0 = 0 un+1 =

p 3un +4

1. a. Montrer que (un ) est majorée par 4.

b. Montrer que (un ) est strictement croissante.

c. En déduire que (un ) converge et déterminer sa limite.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : 1

4−un+1 6 1

2 (4−un ) .

b. Retrouver le résultat de 1. c.

c. Étudier la convergence de la suite (vn) définie sur N par :

vn =n2 (4−un ) .

PROBLÈME points

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé R = (

O, −→ e1 ,

−→ e1

)

.

On note P⋆, P privé du point O, et on considère l’application f de P⋆ dans P qui, au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe

z ′ = 1

2

(

z+ 1

z

)

.

Partie A

1. Montrer que f admet deux points invariants.

On appellera A le point invariant dont la partie réelle de l’affixe est positive, B l’autre.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit k un nombre réel non nul. On considère l’application gk de R ⋆ dans R

définie par :

gk (x)= 1

2

(

x+ 1

x

)

.

Étudier, suivant les valeurs de k, les variations de gk et donner les différents tableaux de variation.

3. En déduire l’image par f de :

∆ ⋆, la droite

(

O, −→ e1

)

privée du point O,

et de D⋆, la droite (

O, −→ e2

)

privée du point O.

4. Donner l’expression analytique de f relativement au repère R.

Partie B

Soitα un nombre réel non nul, on note∆α la droite d’équation y =αx et∆⋆α la droite ∆α privée du point O.

1. Soit la courbe d’équation : 2 y2

x2− y2

α2 =

1

1+α2 .

Déterminer la nature de et préciser ses éléments remarquables : centre, axes, sommets, asymptotes, foyers.

2. a. Montrer qu’il existe un nombre réel k non nul tel que, quel que soit le point M de ∆⋆α d’abscisse x dans le repère R, les coordonnées (x

′ ; y ′) de l’image M ′ deM par f vérifient :

{

x′ = gk (x) y ′ = αgk (x).

b. En déduire que l’image de ∆⋆α par f est incluse dans , puis montrer que l’image de ∆⋆α par f est . (On pourra utiliser le A 2.)

c. Montrer qu’il existe un réel α′ non nul différent de α tel que l’image par f de la droite ∆⋆

α′ où ∆ ⋆

α′ est la droite ∆α′ d’équation y = α x privée du

point O, est .

3. Tracer , ∆α, ∆α′ pour α= 1. Soit r , un nombre réel strictement positif. On note Cr le cercle de centre O et de rayon r .

Quelle est l’image par f deC1 ?

On suppose r 6= 1. a. Montrer que l’image de Cr par f est une ellipse Er dont on déterminera

une équation cartésienne et les éléments remarquables. On vérifiera, en particulier, que ses foyers, indépendants de r , sont les points A et B.

b. Montrer qu’il existe un autre cercle Cr ′ de centre O et de rayon r ′ dont

l’image par f est Er .

c. Tracer Er , Cr , Cr ′ pour r = 2. 4. Soit M un point de Er (r 6= 1). On note T la tangente en M à Er , M1 le symé-

trique de A par rapport à T et M2 le projeté orthogonal de A sur T . Trouver l’ensemble des points M1 quand M décrit Er .

En déduire l’ensemble des points M2 quand M décrit Er .

Amérique du Sud 2 novembre 1984

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