Exercitation - théorie de calcul 4, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 4, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la projection orthogonale de B, la limite de f.
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Amiens C sept. 1984.dvi

[ Baccalauréat C Amiens septembre 1984 \

EXERCICE 1

On considère un triangle isocèle ABC de côté BC = 2a, AC = AB = 30, a étant un réel positif fixé. On note A’ le milieu de BC et H l’orthocentre du triangle.

1. Soit θ une mesure de l’angle BAC. Montrer que cosθ = 7 9 ;

2. Soit B′ la projection orthogonale de B sur la droite (AC).

Calculer B′A

B′CA .

En déduire deux réels u et v tels que le point B′ soit le barycentre du système : (A, u) ; (C, v).

3. En s’aidant de la deuxième question, déterminer trois réels a,b,c tels que le point H soit le barycentre du système : {(A, a); (B, b); (C, c)}.

EXERCICE 2

Soit, dans le plan affine euclidien P, un carré ABCD, de côté de longueur c, où c ∈R⋆+. On considère un réel α et l’application du plan dans lui-même

{ P → P M 7−→ M

telle que −−−−→ MM ′ =α

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +α

−−−→ MD .

1. Déterminer, suivant les valeurs deα, la nature et les éléments caractéristiques de .

2. Déterminer, puis construire l’ensemble E1 des points M du plan P tels que :

MA2+MB2+MC2+MD2 = 4c2.

3. Déterminer, puis construire l’ensemble E2 des points M du plan P tels que :

∥∥∥−−→MA −−−→MB −−−→MC +−−−→MD ∥∥∥=

∥∥∥−−→MA +−−→MB +−−→MC +−−−→MD ∥∥∥

EXERCICE 3

Les parties B et C sont indépendantes, l’une de l’autre. La partie C est, dans une largemesure, indépendante de A.

Soit le plan P rapporté à un repère orthonormal R = ( O,

−→ ı ,

−→

) . Dans tout le pro-

blème on note, pour tout p ∈Z, fp la fonction définie par :

{ fp (x) = xp ln |x| si x ∈R⋆

fp (0) = 0.

Soit Cp la courbe représentative de fp dans R.

Partie A

1. Étudier, suivant les valeurs de p, la continuité et la dérivabilité de fp en 0.

2. Étudier la parité de fp . Calculer fp (x) pour tout x ∈R⋆.

3. a. Calculer la limite de fp quand x tend vers +∞.

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

b. Étudier les variations de fp (on distinguera quatre cas : p < 0,p = 0,p = 1,p > 1).

4. En calculant un développement limité d’ordre 1 de (1+h)p en zéro, et un dé- veloppement limité d’ordre 2 de ln(1+h) en zéro, déduire un développement limité d’ordre 2 de fp (1+h) en zéro.

En déduire l’équation de la tangente D à toutes les courbesCp au point d’abs- cisse 1, ainsi que les positions relatives de Cp et de D suivant les valeurs de p.

5. Donner l’allure des courbes C0, C1, C−2. On fera trois figures différentes, et l’on prendra 2 cm comme unité.

6. Pour tout p ∈ N⋆, déterminer, en intégrant par parties, l’aire de la partie de

plan limitée par la droite ( O,

−→ ı

) , les droites d’équations x = 1 et x = e

1 p+1 et la

courbe Cp .

Partie B

On considère la fonction g = f ◦sin.

On a donc

{ g (x) = sinx ln |sinx| six 6= kπ g () = 0.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de g en 0.

2. Montrer qu’il existe un seul x0 ∈ [ 0 ; π2

] tel que sinx0 =

1

e .

3. Étudier les variations de g en précisant la période et la parité ; puis tracer la

courbe représentative de g sur une période, dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) (unité :

2 cm).

Partie C

On considère la suite ( up

) définie par u0 et pour tout p appartenant àN

up+1 = f1 ( up

) .

1. Étudier ( up

) dans le cas où u0 = 0;u0 = e;u0 =−e.

2. Si u0 = 1

e ou u0 =−

1

e , montrer que

( up

) est une suite géométrique.

Est-elle convergente ?

3. On se place dans le cas où |u0| > e.

a. Si u0 > e, montrer que u1 > u0 > e et, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout p ∈N⋆, up >up−1 > e.

b. Si u0 <−e, montrer que u1 < u0 <−e et, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout p ∈N⋆, up <up−1 <−e.

Dans ces cas a. b. montrer que ∣∣up

∣∣> |u0|(ln |u0|)p . La suite

( up

) est-elle convergente ?

Amiens 2 septembre 1984

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