Exercitation - théorie de calcul 4, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 4, Exercices de Théorie de calcul

PDF (38.1 KB)
2 pages
234Numéro de visites
Description
Exercitation sur la théorie de calcul 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la projection orthogonale de B, la limite de f.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Amiens C sept. 1984.dvi

[ Baccalauréat C Amiens septembre 1984 \

EXERCICE 1

On considère un triangle isocèle ABC de côté BC = 2a, AC = AB = 30, a étant un réel positif fixé. On note A’ le milieu de BC et H l’orthocentre du triangle.

1. Soit θ une mesure de l’angle BAC. Montrer que cosθ = 7 9 ;

2. Soit B′ la projection orthogonale de B sur la droite (AC).

Calculer B′A

B′CA .

En déduire deux réels u et v tels que le point B′ soit le barycentre du système : (A, u) ; (C, v).

3. En s’aidant de la deuxième question, déterminer trois réels a,b,c tels que le point H soit le barycentre du système : {(A, a); (B, b); (C, c)}.

EXERCICE 2

Soit, dans le plan affine euclidien P, un carré ABCD, de côté de longueur c, où c ∈R⋆+. On considère un réel α et l’application du plan dans lui-même

{ P → P M 7−→ M

telle que −−−−→ MM ′ =α

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +α

−−−→ MD .

1. Déterminer, suivant les valeurs deα, la nature et les éléments caractéristiques de .

2. Déterminer, puis construire l’ensemble E1 des points M du plan P tels que :

MA2+MB2+MC2+MD2 = 4c2.

3. Déterminer, puis construire l’ensemble E2 des points M du plan P tels que :

∥∥∥−−→MA −−−→MB −−−→MC +−−−→MD ∥∥∥=

∥∥∥−−→MA +−−→MB +−−→MC +−−−→MD ∥∥∥

EXERCICE 3

Les parties B et C sont indépendantes, l’une de l’autre. La partie C est, dans une largemesure, indépendante de A.

Soit le plan P rapporté à un repère orthonormal R = ( O,

−→ ı ,

−→

) . Dans tout le pro-

blème on note, pour tout p ∈Z, fp la fonction définie par :

{ fp (x) = xp ln |x| si x ∈R⋆

fp (0) = 0.

Soit Cp la courbe représentative de fp dans R.

Partie A

1. Étudier, suivant les valeurs de p, la continuité et la dérivabilité de fp en 0.

2. Étudier la parité de fp . Calculer fp (x) pour tout x ∈R⋆.

3. a. Calculer la limite de fp quand x tend vers +∞.

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

b. Étudier les variations de fp (on distinguera quatre cas : p < 0,p = 0,p = 1,p > 1).

4. En calculant un développement limité d’ordre 1 de (1+h)p en zéro, et un dé- veloppement limité d’ordre 2 de ln(1+h) en zéro, déduire un développement limité d’ordre 2 de fp (1+h) en zéro.

En déduire l’équation de la tangente D à toutes les courbesCp au point d’abs- cisse 1, ainsi que les positions relatives de Cp et de D suivant les valeurs de p.

5. Donner l’allure des courbes C0, C1, C−2. On fera trois figures différentes, et l’on prendra 2 cm comme unité.

6. Pour tout p ∈ N⋆, déterminer, en intégrant par parties, l’aire de la partie de

plan limitée par la droite ( O,

−→ ı

) , les droites d’équations x = 1 et x = e

1 p+1 et la

courbe Cp .

Partie B

On considère la fonction g = f ◦sin.

On a donc

{ g (x) = sinx ln |sinx| six 6= kπ g () = 0.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de g en 0.

2. Montrer qu’il existe un seul x0 ∈ [ 0 ; π2

] tel que sinx0 =

1

e .

3. Étudier les variations de g en précisant la période et la parité ; puis tracer la

courbe représentative de g sur une période, dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) (unité :

2 cm).

Partie C

On considère la suite ( up

) définie par u0 et pour tout p appartenant àN

up+1 = f1 ( up

) .

1. Étudier ( up

) dans le cas où u0 = 0;u0 = e;u0 =−e.

2. Si u0 = 1

e ou u0 =−

1

e , montrer que

( up

) est une suite géométrique.

Est-elle convergente ?

3. On se place dans le cas où |u0| > e.

a. Si u0 > e, montrer que u1 > u0 > e et, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout p ∈N⋆, up >up−1 > e.

b. Si u0 <−e, montrer que u1 < u0 <−e et, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout p ∈N⋆, up <up−1 <−e.

Dans ces cas a. b. montrer que ∣∣up

∣∣> |u0|(ln |u0|)p . La suite

( up

) est-elle convergente ?

Amiens 2 septembre 1984

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome