Exercitation - théorie de calcul 5, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 5, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de P dans P, l’équation différentielle.
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[ Baccalauréat C groupe 1 1 juin 1984 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit z0 = cos 2π

5 + isin

2π

5 .

1. On pose α= z0+ z40 et β= z 2 0 + z

3 0 .

a. Montrer que 1+z0+z20+z 3 0+z

4 0 = 0 et en déduire queα etβ sont solutions

de l’équation (1) X 2+X −1= 0.

b. Déterminer α en fonction de cos 2π

5 .

c. Résoudre l’équation (1) et en déduire la valeur de cos 2π

5 .

2. On appelle A0, A0, A0, A0, A0 les points d’affixes respectives 1, z0, z20 , z 3 0 , z

4 0 dans

le plan affine rapporté au repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

.

a. Soit H le point d’intersection de la droite A1A4 avec l’axe (

O, −→ u )

.Montrer

que OH= cos 2π

5 .

b. Soit C le cercle de centre Ω d’affixe

(

− 1

2

)

passant par B d’affixe (i). Ce

cercle coupe l’axe (

O, −→ u )

en M et N. (On appellera M le point d’abscisse

positive). Montrer que OM=α, ON=β et que H est le milieu de [OM]. c. Endéduire une construction simple dupentagone régulier dont on connaît

le centre O et un sommet A0.

EXERCICE 2 5 POINTS

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. Soit (E) l’ensemble des

points du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient l’équation

15x2+13y2−2xy p 3= 768

et soit f l’application de P dans P qui à un point M de coordonnées (x ; y) associe M′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

tel que

x′ = 1

4

(

x+ y p 3 )

y ′ = 1

4

(

− p 3x+ y

)

1. Montrer que f est une similitude plane directe que l’on caractérisera. Déter- miner f −1.

2. Déterminer une équation de ( f (E)) et montrer que ( f (E)) est une ellipse dont on précisera les sommets, les foyers, et l’excentricité.

3. En déduire que (E) est l’ensemble des points M du plan tels que

MF1 +MF′1 = 16 où F1 et F ′ 1 sont deux points que l’on déterminera.

PROBLÈME 10 POINTS

Partie A

1. Amiens, Rouen

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

On considère l’équation différentielle

y ′(x)− y(x)= x+2 (E)

1. Déterminer une fonction affine a solution de (E).

2. Montrert que si y est solution de (E), alors y a est solutionn d’une équation différentielle homogène du premier ordre. La résoudre.

3. Déterminer toutes les solutions de (E).

Partie B

Soit f la fonction numérique définie sur R par

f (x)= ex x−3.

1. Étudier les variations de la fonction f .

2. Soit (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

a. Montrer que (C ) admet une asymptote D dont on précisera l’équation. Préciser la position de la courbe (C ) par rapport à cette asymptote.

b. Construire (C ) (unité : 2 cm).

3. Déterminer l’aire A (α) du domaine limité par (C ), D et les droites d’équation x = 0 et x =α, avec α< 0. Calculer lim

α→−∞ .

4. Soit f1 la restriction de f à l’intervalle I = [0 ; +∞[. a. Montrer que f1 est une bijection de I sur un intervalle J que l’on préci-

sera.

b. Étudier la continuité et la dérivabilité de f −11 . Construire sa courbe re-

présentative (C ′) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

c. Montrer que l’équation f1(x) = 0 admet une solution unique que l’on encadrera par deux entiers consécutifs.

Partie C

Soit g la fonction définie par

g (x)= ln(x+3).

1. Étudier les variations de g et construire sa courbe représentative dans un re- père orthonormé· (unité : 2 cm).

2. Soit (un ) la suite définie par

{

u0 = 1 un+1 = ln(un +3) ∀n ∈N.

a. En utilisant la croissance de g , étudier le sens de variation de la suite (un ).

b. Montrer que la suite (un ) est majorée par 2.

c. En déduire que cette suite est convergente. Soit sa limite.

3. Soit (vn) la suite définie par

{

v0 = 2 vn+1 = ln(vn +3) ∀n ∈N.

Amiens, Rouen 2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

a. En utilisant la croissance de g , étudier le sens de variation de la suite (vn).

b. Montrer que la suite (vn) est minorée par 1.

c. En déduire que cette suite est convergente. Soit ′ sa limite.

4. Montrer que = ′. a. Montrer que

n ∈N∗, vn un = ∫vn−1

un−1

1

t +3 dt .

b. Montrer que

n ∈N, 06 vn un 6 1

4n .

c. En déduire une valeur approchée de à 10−3 près.

Amiens, Rouen 3 juin 1984

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