Exercitation - théorie de calcul 7, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 7, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la limite, la relation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1984 Antilles–Guyane \

EXERCICE 1

Soit la suite (un ) à termes positifs définie sur N⋆ par u1 = 1 et pour tout n> 2 par

n2u2n − (n−1) 2u2n−1 = n.

1. On considère la suite (vn) définie sur N⋆ par vn = n2u2n . Déterminer vn en fonction de n.

2. En déduire que (un ) est convergente et déterminer sa limite.

EXERCICE 2

Dans l’espace rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

, on considère les points

A, B, C de coordonnées : A(3 ; 2 ; 3), B(9 ; 2 ; 11), C(6 ; −3 ; 7).

1. Montrer que les vecteurs −−→ AC et

−−→ BC sont orthogonaux.

2. Donner une équation du plan P passant par les points A, B et C.

3. Donner une équation de la sphère S de diamètre [AB] et préciser les coordon- nées de son centre et son rayon.

PROBLÈME

Soit I un intervalle ouvert de R, ϕ une application continue de I dans I, involutive, c’est-à-dire telle que ϕϕ= Id où Id est l’application identique de I. On se propose de déterminer et d’étudier dans certains cas, des applications f de I dans R vérifiant la (E) relation :

f ′(x)= f (x)+ f [ϕ(x)] pour tout réelx de I

A On considère les fonctions numériques ϕ1, ϕ2 définies sur R par : • ϕ1(x)= ax (a nombre réel fixé)

{

ϕ2(x) = − ln(x+1) si x> 0 ϕ2(x) = e−x −1 si x < 0.

1. Montrer que ϕ1 et ϕ2 sont involutives.

Étudier leur continuité et leur dérivabilité.

2. Étudier les variations de ϕ2. Tracer sa courbe représentative C dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

B On suppose qu’il existe une fonction f vérifiant (E).

1. Montrer que f ′ est continue sur I et que si ϕ est dérivable sur I, alors f ′ est dérivable sur I.

2. Établir la relation : pour tout réel x de I,

f ′[ϕ(x)]= f ′(x).

En déduire que si ϕ est dérivable sur I, alors f vérifie la relation :

f ′′(x)− [

1+ϕ′(x) ]

f ′(x)= 0 (F)

pour tout réel x de I.

Terminale C A. P. M. E. P.

3. On pose ϕ=ϕ1.

a. Déterminer l’ensemble des fonctions f vérifiant (F).

b. Préciser, parmi celles-ci, celles qui vérifient aussi (E).

C On revient au cas général où ϕ est une fonction dérivable et involutive sur I. On suppose de plus qu’il existe un point unique x0 de I tel que ϕ (x0)= x0.

1. Montrer que la fonction f définie sur I par :

f (x)= A x

x0

et+ϕ(t ) dt +B

A et B sont des constantes réelles, vérifie la relation (F).

2. Montrer que les fonctions x 7−→ ex+ϕ(x) et x 7−→ ∫

ϕ(x)

x0

et+ϕ(t ) dt + ∫x

x0

et+ϕ(t ) dt

sont des primitives sur I d’une même fonction. En déduire que

ϕ(x)

x0

et+ϕ(t ) dt + ∫x

x0

et+ϕ(t ) dt = ex+ϕ(x)−e2x0 .

3. En déduire la relation qui doit lier A et B pour que f vérifie la relation (E).

D On pose ϕ=ϕ2.

1. Montrer que 0 est la seule valeur de x vérifiant ϕ2(x)= x.

2. Déterminer en appliquant les résultats du C, des fonctions f vérifiant (E).

3. Soit g la fonction définie par :

g (x) = 1+2 ∫x

0 et−ln(1+t )dt si x> 0

g (x) = 1+2 ∫x

0 et+e

t −1 dt si x 6 0

a. Montrer que g vérifie (E). Préciser g ′(0).

b. Montrer que si t > 0, et−ln(1+t ) > 1

1+ t . En déduire lim

x→+∞ g (x).

c. Montrer que e−t + t −1> 0 pour tout t réel.

En déduire que ∫x

0 et+e

t −1 dt pour tout x 6 0.

En déduire lim x→−∞

g (x).

d. Donner le tableau de variation de g .

Antilles–Guyane 2 septembre 1984

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