Exercitation - théorie de calcul 8, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 8, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le milieu du segment, les courbes représentatives respectives.
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[ Baccalauréat C Asie 1 juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

d’axes (xx) et

(y y). A est le point d’affixe 2i. f est l’application de P −{A} dans lui-même qui à tout point M d’affixe Z associe le

point M ′ d’affixe Z ′ = 2iZ −5

Z −2i .

1. Montrer qu’il existe deux points B et C invariants par f .

2. Montrer que f est bijective et déterminer son application réciproque.

3. Montrer que la droite (y y) privée du point A est globalement invariante par f .

4. Montrer que si Z 6= 2i, ∣

Z ′−2i ∣

∣ · |Z −2i| = 9.

En déduire l’image par f du cercle Γ de centre A et de rayon r .

Déterminer r pour que Γ soit invariant par f .

EXERCICE 2 4 POINTS

A, B, C et D sont quatre points non coplanaires de l’espace. I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. m étant un réel non nul, Gm est le barycentre des quatre points A, B, C et D affectés respectivement des coefficients 1 ; 1 ; m−2 etm.

1. On construit Gm dans deux cas particuliers.

a. ConstruireG2 (m = 2).

b. ConstruireG1 (m = 1).

c. En déduire queG2 est le milieu du segment [G1J].

2. Montrer que

−−−→ IGm =

(m−2) −→ IC +m

−→ ID

2m .

En déduire que l’ensemble S des pointsGm , lorsquem décritR, est inclus dans un plan que l’on précisera,

3. Montrer quem −−−→ JGm est un vecteur constant. En déduire l’ensemble S.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Soit f la fonction de R vers R telle que

f (x)= x−1− ln |x|,

où ln est le logarithme népérien. On note f0 et f1 les restrictions de f sur R⋆+ et R

− respectivement.

Onnoteγ,γ0 etγ1 leurs courbes représentatives respectives dansun repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé.

1. Australie

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

1. a. Pour chaque réel k, on considère la droiteDk d’équation y = x+k.

Montrer que Dk coupe γ en deux points d’abscisses opposées.

En déduire que γ0 et γ1 s’échangent dans une symétrie S que l’on préci- sera.

b. On considère deux points P et Q sur γ, d’abscisses respectives x et 1

x ,

puis leur milieu I.

Montrer que I est situé sur une des droitesDk que l’on précisera.

c. Étudier les variations de f et construire γ.

2. a. Démontrer que f1 est une bijection de R⋆− vers R. En déduire que f1 pos- sède un unique zéro noté ici x1.

b. Calculer ln |x1| en fonction de x1.

Donner une valeur approchée de x1 à 1

10 près.

c. La courbe représentative de f1 −1 dans

(

O, −→ ı ,

−→

)

s’obtient à partir de γ0 par la transformation ponctuelle T composée de la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées parallèlement àD0, et d’une autre symétrie S ′ que l’on précisera.

Montrer que les expressions analytiques de T sont

x′ = y −2x et y ′ =−x.

3. a. On considère la fonction ϕ de R⋆+ vers R telle que

ϕ(x)= x lnx.

Déterminer ϕ′, dérivée de ϕ.

b. En déduire une primitive de f0.

c. Le plan étant rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, évaluer l’aire de la partie du

plan définie par

{ 1

e 6 x 6 1

0 6 y 6 f (x).

Partie B

Soit g la fonction numérique définie par

g (x) = x ln |x|

x−1 , ∀x ∈R− {0 ; 1},

g (0) = 0 g (1) = 1

1. La fonction g est-elle continue en 0 ? Est-elle continue en 1 ?

2. a. La fonction g est-elle dérivable en 0 ?

b. La fonction g est-elle dérivable en 1 ? (on utilisera un développement limité en 0, d’ordre 2, de ln (1 + h)).

c. À l’aide du signe de f (partie A), étudier les variations de la fonction g .

3. a. On note C la courbe représentative de la fonction g et E le point de C d’abscisse (−1). Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point E.

b. Préciser la position relative de cette tangente et de la courbe C au voi- sinage du point E. (On pourra poser x =−1−h et utiliser un développe- ment limité, au voisinage de 0, de ln(1+h)).

c. Construire la courbe C .

Asie, Australie 2 juin 1984

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